a (1，2，2) + b（3，0，4）+ c (5，-2，6) = （0，0，0）．
4．令 个向量
= （1，0，0），
= （0，1，0），
1
123
=（0，0，1）．证明，R3中每的形式，这里a1，a2，a3
可以唯一地表示为
= a1 + a2
2
+ a3
3
R．
5．证明，在数域F上向量空间V里，以下算律成立：
（i）a ( (ii) (a- b) ) = a - a ；
= a - b , 这里a，b F ， , V．
6．证明：数域F上一个向量空间如果含有一个非零向量，那么它一定含有无限多个向量．
7．证明，对于任意正整数n 和任意向量
，都有 n
=
+?+
．
8．证明，向量空间定义中条件3o，8）不能由其余条件推出． 9．验证本节最后的等式：
（
，?，
）(AB) =（（
，?，
）A）B．
1n1n
§6.2 子空间
1．判断R n中下列子集哪些是子空间：
(i) {（a1，0，?，0，an）| a1，an R}；
(ii) {（a1 ，a2 ，?，an ）| ai =0}；
(iii) {（a1 ，a2 ，?，an ）|
29
ai =1}；
(iv) {（a1 ，a2 ，?，an ）| ai Z ，i = 1，?，n}.
2．Mn (F)表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间（参看6.1，例2）令
S={ A Mn (F) |A′= A}，
T={ A Mn (F) |A′= –A}．
证明，S和T都是 Mn (F)的子空间，并且 Mn(F) = S + T，S T={0}．
3．设W1，W2是向量空间V的子空间，证明：如果V的一个子空间既包含W1又包含W2 ，那么它一定包W1 +W2 ．在这个意义下，W1+W2是V的既含W1又含W2的最小子空间． 4．设V是一个向量空间，且V 集．
5．设W，W1，W2都是向量空间V的子空间，其中W1 {0}．证明：V不可能表成它的两个真子空间的并
W2且W W1=W W2，
W + W1=W + W2 .证明：W1=W2．
6．设W1，W 2是数域F上向量空间V的两个子空间，
,
是V的两个向量，其中
W2，但
W1，又
W2，证明：
（i） 对于任意k F, +k
W2 ；
（ii） 至多有一个k F，使得
7．设W1，W2 ，?，Wr 是向量空间V的子空间，且Wi
在一个向量
V，使得
Wi， ?i=1，?，r．
+k
W1 ．
V，i=1，?，r. 证明：存
[提示：对r作数学归纳法并且利用第6题的结果．]
§6.3 向量的线性相关性
30
1.下列向量组是否线性相关:
(i)（3，1，4），（2，5，-1），（4，-3，7）； (ii) （2，0，1），（0，1，-2），（1，-1，1）；
(iii) （2，-1，3，2），（-1，2，2，3），（3，-1，2，2），（2，-1，3，2）． 2．证明，在一个向量组{ 即
=k，
，那么{
}里，如果有两个向量
}线性相关．
与
成比例，
3．令 。证明
线性相关必要且只要
行列式 = 0．
4．设
数，得到
的m个向量 ，?， }也线性无关
，线性无关．对每一个
任意添上p个．
证明{ 5．设
1 ， 2 m线性无关，证明
} (
也线性无关．
6．设向量组{ 量组
线性无关，任取
线性无关．
．证明，向
7．下列论断哪些是对的，哪些是错的，如果是对的，证明；如果是错的，举出反例： (i) 如果当 性无关．
31
，那么
线
(ii) 如果
，
(iii) 如果 合． (iv) 如果
8．设向量 向量组{
9．设向量组
可以由
线性无关，而
也线性无关．
不能由 线性表示，那么
线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组
线性相关，那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合．
表示，但不能由
，
并且每一
}等价．
线性表示．证明，
}与向量组{
中
都不能表成它的前
个向量
的线性组合．证明
10．设向量 者 与{
线性无关，而
线性无关．
， ， 线性相关，证明，或
，
}
与 中至少有一个可以由
， }等价．
线性表示，或者向量组{
§6.4 基和维数
1．令Fn [x]表示数域F上一切次数 n的多项式连同零多项式所组成的向量空间．这个向量空间的维数是几？下列向量组是不是F3 [x]的基： (i){x3+1，x+1，x2+x，x3+x2+2x+2}； (ii){x-1，1-x2，x2+2x-2，x3}.
2．求下列子空间的维数：
32