14． 设 证明：

互素的充要条件是存在多项式

使得

15． 设 令

比照定理1.4.2，证明：为零，取因式．]

有最大公因式．[提示：如果

就是

不全

的一个最大公

是I中次数最低的一个多项式，则

§2.4 多项式的分解

1. 在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积：

2. 分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式 为不可约因式的乘积.

3. 证明： 当且仅当

4. 求 在 内的典型分解式；

求 在 内的典型分解式

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5.证明：数域F上一个次数大于零的多项式的充分且必要条件是对于任意使得

或者

是 中某一不可约多项式的幂 或者存在一个正整数

6．设要

是 就有

中一个次数大于零的多项式.如果对于任意

或

那么

不可约.

只

§2.5 重因式

1. 证明下列关于多项式的导数的公式：

2. 设 是 的导数 的 重因式.证明：

未必是 的 重因式；

是 的 重因式的充分且必要条件是

3. 证明有理系数多项式

没有重因式.

4.

应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？

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5. 证明：数域F上的一个 次多项式 能被它的导数整除的充分且必要条件是

， 这里的 是F中的数 。

§2.6 多项式函数 多项式的根

1．设 ,求 .

2．数环R的一个数 说是除,但不能被

的一个 重根,如果 可以被 整

整除.判断5是不是多项式

的根.如果是的话,是几重根?

3．设

[提示:应用综合除法．] 4．将下列多项式

表成

的多项式.

求

; .

5．求一个次数小于4的多项式 ,使

6．求一个2次多项式,使它在 处与函数 有相同的值.

7．令 是两个多项式,并且 可以被 整除.

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证明

8．令 是一个复数,并且是 中一个非零多项式的根,令

证明: 在J中存在唯一的最高次项系数是1的多项式

都可以写成

的形式,这里

,使得 中每一多项式

.

在 中不可约. 如果 ,求上述的

[提示:取 是J中次数最低的、最高次项系数是1的多项式.]

9．设 中多项式 且 , 是一个大于1的整数.

证明: 的根只能是零或单位根.

[提示:如果 是 的根,那么 都是 的根.]

§2.7 复数和实数域上多项式

1．设 次多项式 的根是 .求

以 为根的多项式,这里 是一个数。

（ii）以

1?1?2,

1,…,

1?n(假定 都不等于零)为根的多项式.

2．设 是一个多项式,用 表示把 的系数分别换成它们的共轭数后所

得多项式.证明:

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