利用 证明,素数有无限多个．

§1.5数环和数域

1．证明,如果一个数环 那么 含有无限多个数．

2．证明, 是数域．

3．证明, 是一个数环, 是不是数域?

4．证明,两个数环的交还是一个数环;两个数域的交还是一个数域.两个数环的并是不是数环?

5．设是一整数,令

由例1,

是一个数环.设

,记

．

证明: 是一个数环．

．

,这里 是 与 的最大公因数．

．

第二章 多项式

§2.1一元多项式的定义和运算

5

1．设 和 是实数域上的多项式．证明：若是

(6) ，那么

2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式 和

3．证明：

§2.2 多项式的整除性

1．求

被

除所得的商式和余式：

( i )

(ii)

2．证明： 必要且只要

3．令 都是数域F上的多项式，其中 证明：

且

4．实数 满足什么条件时，多项式 能够整除多项式

5．设F是一个数域， 证明： 整除

6．考虑有理数域上多项式

6

这里 和 都是非负整数．证明：

7．证明： 整除 必要且只要 整除

§2.3 多项式的最大公因式

1. 计算以下各组多项式的最大公因式：

( i )

(ii)

2. 设 不全为零，则的一个最大公因式．

3. 令

与

是

证明：若

反之，若

则

是

且

与

和

的多项式，而 是 中的数，并且

证明：

4． 证明： （i） 是 和 的最大公因式；

（ii）

此处 等都是 的多项式。

5． 设多项式。求

都是有理数域Q上的

使得

7

6． 设意正整数

令 是任意正整数，证明：

，都有

由此进一步证明，对于任

7． 设 证明：

8． 证明：对于任意正整数 都有

9． 证明：若是 里的数低于

与

与 互素，并且 与 的次数都大于0，那么定理

的次数，

的次

可以如此选取，使得

与

的次数低于 是唯一的。

的次数，并且这样的

10． 决定 ，使 与 的最大公因式是一次的。

11． 证明：如果 那么对于任意正整数 ，

12． 设 是数域F上的多项式。

：

与 的最小公倍式指的是F[x]

中满足以下条件的一个多项式

且 ；

如果 ∈F[x]且 ，那么

证明：F[x]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差别外，是唯一的。

设

都是最高次项系数是1的多项式，令

表示

和

的

最高次项系数是1的那个最小公倍式。证明

13． 设

并且

8

证明：