6．数域F上n维向量空间V的一个线性变换 叫做幂零的，如果存在一个自然数m使

m = 0.证明：

(i)

是幂零变换当且仅当它的特征多项式的根都是零；

(ii) 如果一个幂零变换 可以对角化，那么 一定是零变换．

7．设V是复数域上一个n维向量空间，S是V的某些线性变换所成的集合，而 是V的一个线性变换，并且 与S中每一线性变换可交换，证明，如果S不可约 (参看7.4，习题5)，那么 一定是一个位似． [提示：令

是 的一个本征值，考虑

的属于

的本征子空间，并且利用7.4，习题5的结果．]

8．设

是数域F上n维向量空间V的一个可以对角化的线性变换，令

是

的全部本征值．证明，存在V的线性变换 ，使得

(i) ；

(ii)

(iii)

(iv)

(v) 的属于本征值 的本征子空间，

9．令V是复数域C上一个n维向量空间， ， 是V的线性变换，且

(i) 证明，(ii)

45

．

的每一本征子空间都在 之下不变；

与 在V中有一公共本征向量．

第八章 欧氏空间和酉空间

§8.1向量的内积

1．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量 ,以下等式成立:

(1) ；

(2)

在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么?

2．在区氏空间

,

里,求向量

的夹角.

与每一向量

3．在欧氏空间 里找出两个单位向量,使它们同时与向量

中每一个正交.

4．利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形．

5．设

是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明:

(勾股定理)

46

6．设证明,如果

与

都是一个欧氏空间的向量,且 正交,

,那么

.

是 的线性组合.

7．设 是欧氏空间的 个向量.行列式

叫做 的格拉姆(Gram)行列式.证明 线性相关.

=0,必要且只要

8．设 是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件:

和 都是 的整数.

证明: 的夹角只可能是 .

9.证明:对于任意实数 ,

).

§8.2 正交基

1．已知

,

,

，

47

是 的一个基.对这个基施行正交化方法,求出 的一个规范正交基．

2．在欧氏空间求出一个规范正交组．

3．令

里,对于线性无关的向量级{1, , , }施行正交化方法,

是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 是由这组

向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即

4．令 是 维欧氏空间V的一个规范正交基,又令

K叫做一个 -方体.如果每一 都等于0或1, 就叫做K的一个项点.K的顶点间一切可能的距离是多少?

5．设等式成立:

是欧氏空间V的一个规范正交组.证明,对于任意.

,以下

6．设V是一个 维欧氏空间.证明 如果W是V的一个子空间,那么

.

如果 都是V的子空间,且 ,那么

如果 都是V的子空间,那么

7．证明,

中向量 到平面

48