[提示：令W = Ker .证明W是要的一个不变子空间．]

§7.5 本征值和本征向量

1．求下列矩阵在实数域内的特征根和相应的特征向量：

(i) ； (ii) ；(iii) ．

2．证明：对角形矩阵

与

相似必要且只要b1，b2，?，bn是a1，a2，?，an的一个排列．

3．设 A = 是一个实矩阵且ad–bc = 1 ．证明：

(i) 如果| trA |>2，那么存在可逆实矩阵T，使得 T-1AT =

．

这里 且 ，1，-1．

，那么存在可逆实矩阵T，使得

(ii) 如果| trA | = 2且A

T-1AT =

或 .．

(iii) 如果| trA | < 2则存在可逆实矩阵T及 ，使得

41

T-1AT =

．

[提示] 在(iii)，A有非实共轭复特征根

是A的属于 的一个特征向量，计算A

4．设a，b，c =1.将 写成三角形式．令

和A

．

．令

A= ，B= ，C= ．

(i) 证明，A，B，C彼此相似；

(ii) 如果BC=CB，那么A，B，C的特征根至少有两个等于零．

5．设A是复数域C上一个n阶矩阵．

(i) 证明：存在C上n阶可逆矩阵T使得

T-1AT =

．

(ii) 对n作数学归纳法证明，复数域C上任意一个n阶矩阵都与一个“上三角形”矩阵

相似，这里主对角线以下的元素都是零．

42

6．设A是复数域C上一个n阶矩阵，计算）．

是A的全部特征根（重根按重数

(i) 如果f (x)是C上任意一个次数大于零的多项式，那么f ( 是

f(A)的全部特征根．

(ii) 如果A可逆，那么根

7．令

，并且

是A-1的全部特征

A =

是一个n阶矩阵。

(i) 计算

． (ii) 求A的全部特征根．

8． 是任意复数，行列式

D =

叫做一个循环行列式，证明： D = ，

这里 ，而 是全部n次单位根．

[提示：利用6.7两题的结果．]

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9．设A，B是复数域上n阶矩阵．证明，AB与BA有相同的特征根，并且对应的特征根的重数也相同．[提示：参看5.3习题2．]

§7.6 可以对角化的矩阵

1．检验7.5习题1中的矩阵哪些可以对角化．如果可以对角化，求出过渡矩阵T．

2．设 ， 求A10．

3．设 是数域F上n维向量空间V的一个线性变换．令

是属于本征值

的本征子空间．证明，子空间的和

是 的两两

不同的本征值，是直和，并在

之下不变．

4．数域F上n维向量空间V的一个线性变换 叫做一个对合变换，如果 2 =ι,ι,是单位变换，设 是V的一个对合变换，证明:

(i)

的本征值只能是

；

的属于本征值1的本征子空间，V 是

的属于 ]

(ii) V = V1

，这里V1是

本征值 –1 的本征子空间．[提示：设

5．数域F上一个n 阶矩阵A叫做一个幂等矩阵，如果阵.证明：

(i)I + A 可逆，并且求

．

,设A是一个幂等矩

(ii)秩A + 秩 [提示：利用7.4，习题3 (ii)．]

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