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开始对鞅概念进行了系统的研究而使鞅论成为一门独立的分支．鞅论使随机过程的研究进一步抽象化,不仅丰富了概率论的内容,而且为其他数学分支如调和分析、复变函数、位势理论等提供了有力的工具．从1942年开始,日本数学家伊藤清引进了随机积分与随机微分方程,为一门意义深远的数学新分支——随机分析的创立与发展奠定了基础．[5]

概率论不仅是“数学之树”的一庞大支条，而且还有若干强壮的根（如下表），直接扎在实际应用环境的大地上．“芳草有情皆碍马，好云无处不遮楼”．正如英国的逻辑学家和经济学家杰文斯所说，概率论是“生活真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们就寸步难行，无所作为．”

2 概率统计在实际生活中的应用

2．1关于男女色盲比例的问题

例1[6]从随机抽取的467名男性中发现有8名色盲，而433名女性中发现1人色盲，在??0.01水平上能否认为女性色盲的比例比男性低？

解 设男性色盲的比例为p1,女性色盲的比例为p2，那么要检验的假设为

H0:p1?p2 H1:p1?p2 由备择假设，利用大样本的正态近似得，在??0.01水平的拒绝域为

?u??2.33?

由样本得到的结果知：n?467,m?433

818?1?1??2???p?0.01713,p?0.00231,p?0.1

467433467?433则

u??1?p?2p?11???1?p?????p?nm??2.2326

未落在拒绝域中，因此在??0.01水平上可以认为女性色盲的比例低于男性． 2．2我国出生人口性别比

出生人口性别比，通常是为了便于观察与比较所定义的每出生百名女婴相对的出生男婴数．20世纪50年代中期，联合国在其出版的《用于总体估计的基本数据质量鉴定方法》（手册Ⅱ）认为：出生性别比偏向于男性．一般来说，每出生100名女婴，其男

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婴出生数置于102?107之间．此分析明确认定了出生性别比的通常值域为102?107之间．从此出生性别比值下限不低于102、上限不超过107的值域一直被国际社会公认为通常理论值，其他值域则被视为异常．

例2近年来，越来越多的话题围绕着我国的人口性别比例而展开．下图（表1）所示的是我国2005年到2010年的出生人口性别比例的变化情况．

2005-2010年中国人口性别比122121120119118117116120.22118.58119.25119.45118.06120.56200520062007200820092010

由图可以看出，在2005年到2010年之间，我国的人口性别比一直都保持在118到121之间，超出了国际社会公认为通常理论值102?107很多． 3．3电影院的座位问题

定理1 设DXi??2，则对任意x?R,有

ux?X?a?1?2limP??x???edu???x? ???n????n2???2记为

X?a?n~N?0,1?.

这一结果称为Lindeberg-Levy定理，是这两位学者在20世纪20年代证明的．历史上最早的中心极限定理是1716年建立的De Moivre-Laplace 定理，它是前一个结果的特例，具体为

limp(x??nX?np?x)??(x)．[7]

np(1?p)3的 4例3设某地扩建电影院，据分析平均每场观众数n?1600人，预计扩建后，平均

观众仍然会去该电影院，在设计座位时，要求座位数尽可能多，但空座达到200或更多的概率不能超过0.1，问应该设多少座位？

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解 把每日看电影的人编号为1,2,?,1600，且令

?1，第i个观众还去电影院Xi??i?1，2，1600．

?0，不然31则由题意p(Xi?1)?，p(Xi?0)?．又假定各观众去电影院是独立选择，则

44X1,X2,?是独立随机变量，现设座位数为m，则按要求

p(X1?X2??X1600?m?200）?0.1．

3?1200，4在这个条件下取m最大．当上式取等号时，m取最大，因为np?1600?np(1?p)?103，由定理第二个式子知，m应满足

?(m?200?1200)?0.1．

103查正态分布表即可确定m?1377，所以，应该设1377个座位．

3 总结

兴趣是最好的老师，可以激发学生的学习热情，更可以引导学生成为学习的主人，学习数学需要死记硬背熟能生巧，但并不排除用兴趣引导和激励．将兴趣转化为志趣，转化为学习的动力，将其带到数学学习的每一个部分．本文我们主要通过讲解三个生活中遇到的悖论问题，使人们在生活与学习中，能更好的理解悖论给我们带来的困惑，解决了人们在意识上的一些错误观点．对于这些因为意识的错觉而存在的悖论问题，我们仍有待于进一步研究．上面列举了概率统计在实际生活中的一些简单应用，其实日常生活中到处都有概率统计的影子．通过统计我们可以了解一些指数的变化趋势等，通过概率计算我们了解了彩票、摸奖等的中奖率等．概率统计的足迹可以说是已经深入到每一个领域，在实际问题的应用随处可见．相信人类能够更好的应用好概率统计，使之更好的为人类的发展做贡献．

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参考文献

[1]梅长林,周家良.实用统计方法[M].北京：科学出版社,2002. [2]杨虎,钟波,刘琼荪.应用数理统计[M].北京：清华大学出版社,2006. [3]张国权.应用概率统计[M]. 北京：科学出版社,2003. [4]吴传志.应用概率统计[M].重庆：重庆大学出版社,2004.

[5]郑长波.生活中的概率问题举例[J].沈阳师范大学学报,2007,7(5):23-26. [6]魏宗舒,等.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社,2008. [7]王梓坤.概率论基础及其应用[M].北京：科学出版社,1976.

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