南京师范大学泰州学院本科毕业论文

3借助计算机求解圆周率的方法

在1000多年前祖冲之就把圆周率精确的计算到小数点后六位。作为一个现代的大学生，我们所知道的数学知识比祖冲之所知多得多，并且有高性能的计算机作为辅助工具,所以我们有理由相信自己一定能够找到求圆周率精度更高的方法。下面我们来介绍一下三种计算圆周率的数学实验方法。

3.1数值积分法

3.1.1 算法原理

半径为1的圆称为单位圆，它的面积等于?。只要算出单位圆的面积，就算出了?。 以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分G是一个扇形，由曲线y?1?x2?x??0,1??及两条坐

标轴围成，它的面积S??4。算出了S的近似值，

它的4倍就是?的近似值。

怎样计算扇形G的面积S的近似值？如

图3-1，作平行于y轴的直线将x轴上的区间[0,1]（也就是扇形在x轴上的半径）分成n等份（图3–1中n?21）相应地将扇形G分成n个同样宽度

1n的部分Gk（1?k?n）。每部分Gk是一个曲边梯形：

它的左方、右方的边界是相互平行的直线段，类似于梯形的两底；上方边界为一段曲线，因此称为曲边梯形。如果n很大，每个曲边梯形Gk的上边界可以近似的看成直线段，从而将Gk近似的看成一个梯形来计算它的面积Sk：梯形的高（也就是它的宽度）h?两条底边的长分别是yk?1?Tk?121n，

?k?1?1????n?2和yk??k?1????n?2，于是这个梯形面积

?yk?1?yk?可以作为曲边梯形面积Sk的近似值。所有这些梯形面积的和T就可

n1以作为扇形面积S的近似值：

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?

4?S?S1???Sk???Sn?T1???Tk???Tny?yn?1?0??2?n???y1?y2???yn?1?

n越大，计算出来的梯形面积之和T就越接近扇形面积S，而4T就越接近?的准确值。

1?图3-1中的扇形面积S实际上就是定积分?1?x2dx?。与?有关的定积分很多，比

04111?2如的定积分就比的定积分更容易计算，更适合于用来计算dx?1?x22?041?x1?x?。

一般的，要计算定积分S?y?0,x?a,x?b?f?x?dxab，也就是计算曲线y?f?x?与直线

所围成的曲边梯形G的面积S。为此，用一组平行于y轴的直线

个小曲边梯形，

x?xi?1?i?n?1,a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b?将曲边梯形T分成n总面积S分成这些小曲边梯形的面积之和，如果取n很大，使每个小曲边梯形的宽度都很小，可以将它上方的边界f?x??xi?1?x?xi?近似的看作直线段，将每个小曲边梯形近似的当作梯形来求面积，就得到梯形公式。如果更准确些，将每个小曲边梯形的上边界近似的看作抛物线段，就得到辛普森公式，具体公式如下：

梯形公式：设分点x1,?xn?1将积分区间?a,b?分成n等份，即xi?a?0?i?n。所有的曲边梯形的宽度都是h?b?ani?b?a?n，

。记yi?f?xi?则第i个曲边梯形的面积Si近似的等于梯形面积

S?b?an(y1?y2???yn?1?12?yi?12?yi?h.将所有这些梯形面积加起来就得到：

y0?yn)这就是梯形公式[3]。 i?b?a?n辛普森公式：仍用分点xi?a?x?xi?1?i?n?1?将曲边梯形分成

1?b?a??a??i??.将第

2n??，1?i?n?1将区间?a,b?分成n等份，直线

n个小曲边梯形，在作每个小区间?xi?1,xi?的中点

xi?12i个小曲边梯形的上边界y?f?x??xi?1?x?xi?近似的看作经

??的抛物线段，则可求得 ??Si??b?a??yi?1?4y1?yi?,

?i?6n?2???过三点?x,f?x???x?xi?1,x1,xi?i?2? 13

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其中yi?12??f?x1?i?2???.于是得到 ???4?y1?y3???y1?n?22?2????. ????b?a?S??y0?yn?2?y1?y2???yn?1??6n??这就是辛普森公式[5]。

3.1.2 计算结果及误差分析

我们利用Mathematica软件,用梯形公式和Simpson公式计算??完成相应的程序编写。详细的计算程序见附录1，计算结果见表3-1

表3-1 利用数值积分法计算圆周率结果及误差

代 迭次 数 算 法 梯形公式 误差 Simpson公式

误差 梯形公式 误差 Simpson公式

误差

1000 3.1415924869231264 -1.66667×10-7 3.1415926535897905 -2.66454×10

4000

3.1415926431731265 -1.04167×10-8 3.1415926535898056 1.24345×10-14

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?1041?x2dx。可以

2000 3.1415926119231266 -4.16667×10-8 3.1415926535897887 -4.44089×10

5000

3.1415926469231263 -6.66667×10-9 3.1415926535897905 -2.66454×10-15

-15

3000 3.141592635071275 -1.85185×10-8 3.141592653589798 4.88498×10

6000

3.1415926489601635 -4.62963×10-9 3.1415926535897927 -4.44089×10-16

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为方便观察，利用Matlab软件根据表3-1中的数据进行绘图（程序见附录3-2），可得图像3-2至图3-5.通过观察发现，Simpson公式的计算结果要明显优于梯形公式，观察图3-2和图3-3.可以看到利用梯形公式计算时，当迭代次数达到5000以上时，计算结果的精度可达到7位数，而图像3-4和3-5显示，利用Simpson公式计算时，当迭代次数达到5000时，计算结果的精度可达到11位数。

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