十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学
专题03函数
x2-2ax+2a,x≤1,
1.(2019?天津?理T8)已知a∈R,设函数f(x)={若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立,
x-alnx,x>1.则a的取值范围为( )
A.[0,1] B.[0,2] C.[0,e] D.[1,e] 【答案】C
【解析】(1)当a≤1时,二次函数的对称轴为x=a.需a-2a+2a≥0.a-2a≤0.∴0≤a≤2. 而f(x)=x-aln x,f'(x)=1-x=
a
x-ax
2
2
2
>0 此时要使f(x)=x-aln x在(1,+∞)上单调递增,需1-aln 1>0.显然成立. 可知0≤a≤1.
(2)当a>1时,x=a>1,1-2a+2a≥0,显然成立. 此时f'(x)=
x-ax
,当x∈(1,a),f'(x)<0,单调递减,当x∈(a,+∞),f'(x)>0,单调递增.
需f(a)=a-aln a≥0,ln a≤1,a≤e,可知1 2√x,0≤x≤1,1 2.(2019?天津?文T8)已知函数f(x)={1若关于x的方程f(x)=-4x+a(a∈R)恰有两个互异的实 ,x>1. x 数解,则a的取值范围为( ) A.C. 59 , 44 59 B. 59445944 ,, ∪{1} ,∪{1} D.44 【答案】D 【解析】当直线过点A(1,1)时,有1=-4+a,得a=4. 当直线过点B(1,2)时,有2=-4+a,a=4. 故当4≤a≤4时,有两个相异点. 当x>1时,f'(x0)=-x2=-4,x0=2. 0 15 19 59 11 此时切点为2,2,此时a=1.故选D. 1 x,x<0, 3.(2019?浙江?T9)设a,b∈R,函数f(x)={131若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点, 2 x-(a+1)x+ax,x≥0.32则( ) A.a<-1,b<0 B.a<-1,b>0 C.a>-1,b<0 D.a>-1,b>0 【答案】C 【解析】当x<0时,由x=ax+b,得x=1a,最多一个零点取决于x=1a与0的大小,所以关键研究当x≥0时, --b b 方程3x-2(a+1)x+ax=ax+b的解的个数,令b=3x-2(a+1)x=3xx-2(a+1)=g(x).画出三次函数g(x)的图象如图所示, 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 3 可以发现分类讨论的依据是(a+1)与0的大小关系. 23 ①若2(a+1)<0,即a<-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=2(a+1)为奇重零点穿过,显然在x≥0时g(x)单调递增,故与y=b最多只能有一个交点,不符合题意. ②若2(a+1)=0,即a=-1,0处为3次零点穿过,也不符合题意. ③若2(a+1)>0,即a>-1时,x=0处为偶重零点反弹,x=2(a+1)为奇重零点穿过,当b<0时g(x)与y=b可以有两个交点,且此时要求x=1-a<0,故-1 4.(2019?北京?文T3)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( ) A.y=x C.y=log1x 21 2 33 3 33 b B.y=2 D.y= x1 -x 【答案】A 【解析】函数y=2,y=log1x,y=x在区间(0,+∞)上单调递减,函数y=x2在区间(0,+∞)上单调递增,故选A. 2-x 1 1 5.(2019?全国1?理T11)关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论: π2 ①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间(,π)内单调递增 ③f(x)在[-π,π]有4个零点 ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是( ) A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③ 【答案】C 【解析】因为函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,且f(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=f(x),所以f(x)为偶函数,故①正确; 当2 当0≤x≤π时,f(x)=2sin x,它有两个零点0和π;当-π≤x≤0时,f(x)=sin(-x)-sin x=-2sin x,它有两个零点-π和0;故f(x)在区间[-π,π]上有3个零点-π,0和π,故③错误; 当x∈[2kπ,2kπ+π](k∈N)时,f(x)=2sin x;当x∈(2kπ+π,2kπ+2π](k∈N)时,f(x)=sin x-sin x=0.又f(x)为偶函数,所以f(x)的最大值为2,故④正确; 综上可知①④正确,故选C. 6.(2019?全国3?理T11文T12)设f(x)是定义域为R的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则( ) A.f(log34)>f(2-2)>f(2-3) B.f(log34)>f(2-3)>f(2-2) C.f(2)>f(2)>f(log34)D.f(2)>f(2)>f(log34) 【答案】C 【解析】∵f(x)是R上的偶函数, ∴f(log34)=f(-log34)=f(log34). 又y=2在R上单调递增, ∴log34>1=2>2-3>2-2. 0 x * * ππ 1 32 1 23 - 32 - 23 1 - 23 - 32 1 1 23 又f(x)在区间(0,+∞)内单调递减, ∴f(log34) 7.(2019?全国1?理T3文T3)已知a=log20.2,b=2,c=0.2,则( ) A.a 0.2 0.3 - 23- 32 - 32- 231 C.c 【解析】因为a=log20.2<0,b=2>2=1, 又0 8.(2019?天津?理T6)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.5,则a,b,c的大小关系为( ) 0.2 0.3 0 0.2 0 A.a 【解析】∵a=log1 52 c=0.50.2 =（1 ）0.2 >（1 ）1 2 2 ,∴b>c>a.故选A. 9.(2019?天津?文T5)已知a=log0.2 27,b=log38,c=0.3,则a,b,c的大小关系为( A.c 命题点比较大小,指、对数函数的单调性. 解题思路利用指、对数函数的单调性比较. 【答案】A 【解析】a=log27>log24=2. b=log38 <1,故c 10.(2019?全国1?T5)函数f(x)=sinx+x cosx+x2在[-π,π]的图像大致为( ) 【答案】D )