课后限时集训(三十三)

(建议用时：60分钟) A组 基础达标

一、选择题

1．(2020·武汉模拟)下列命题中正确的是( ) 1

A．函数y＝x＋的最小值为2

xx2＋3

B．函数y＝2的最小值为2

x＋2

4

C．函数y＝2－3x－(x＞0)的最小值为2－43

xx4

D．函数y＝2－3x－(x＞0)的最大值为2－43

44234

D [由x＞0知3x＋≥43，当且仅当3x＝，即x＝时等号成立，则2－3x－≤2

xx3x4

－43，因此函数y＝2－3x－(x＞0)的最大值为2－43，故选D.]

x14

2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )

ab79

A． B．4 C． D．5 22

141?14?1?b4a?9当且仅当b＝4a，C [由a＞0，b＞0，a＋b＝2知＋＝(a＋b)?＋?＝?5＋＋?≥，

ab2ab?ab?2?ab?24

即b＝2a＝时等号成立，故选C．]

3

3．(2020·太原模拟)已知x，y为正实数，则5A． 33C． 2D [

10B． 3D．3

4x3y＋的最小值为( ) x＋3yx4x3y4xx＋3y＋＝＋－1≥3， x＋3yxx＋3yx4xx＋3y＝，即x＝3y时，等号成立．故选D.] x＋3yx当且仅当

1?a＋b?，则( )

4．若a>b>1，P＝lg a·lg b，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg??2?2?A．R

B．Q

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C．P

C [∵a>b>1，∴lg a>lg b>0， 1

(lg a＋lg b)>lg a·lg b， 2即Q>P.∵

D．P

a＋b2

>ab，∴lg

3

a＋b1

>lgab＝(lg a＋lg b)＝Q，即R>Q，∴P

5．要制作一个容积为4 m，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )

A．80元 C．160元

B．120元 D．240元

C [设容器底面矩形的长和宽分别为a和b，容器的总造价为y元，则ab＝4，y＝4×20＋10×2(a＋b)＝20(a＋b)＋80，∵a＋b≥2ab＝4(当且仅当a＝b＝2时等号成立)，∴y≥160，故选C．]

二、填空题

6．(2020·山东高考)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________． 8 [∵直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)， 12

∴＋＝1，

xyabxyabab4ab?12?∴2a＋b＝(2a＋b)?＋?＝4＋＋≥4＋2?ab?

ba4ab·＝8，

bab4a当且仅当＝，即a＝2，b＝4时，等号成立．

ab故2a＋b的最小值为8.]

7．(2020·徐州模拟)已知正数a，b满足2a＋b＝3，则ab＋1的最大值为________． 2 [ab＋1＝

2

2

2

22212222

×2ab＋1≤×(2a＋b＋1)＝×(3＋1)＝2， 2224

22

2

当且仅当2a＝b＋1，且2a＋b＝3， 即a＝1，b＝1时，等号成立． 故ab＋1的最大值为2.]

8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__________吨．

400

20 [每次都购买x吨，则需要购买次．

22

2

x∵运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，

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400

∴一年的总运费与总存储费用之和为4×＋4x万元．

x4004×400∵4×＋4x≥160，当且仅当4x＝时取等号，

xx∴x＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．] 三、解答题

389．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值；

22x－3(2)设0

183

[解] (1)y＝(2x－3)＋＋

22x－32＝－?

?3－2x＋8?＋3. 3－2x??2?2

3

当x<时，有3－2x>0，

2∴

3－2x8

＋≥223－2x3－2x8

·＝4， 23－2x3－2x81

当且仅当＝，即x＝－时取等号．

23－2x2355

于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.

222(2)∵00， ∴y＝x4－2x＝2·x＝1时取等号，

∴当x＝1时，函数y＝x4－2x的最大值为2. 2－x≤2·

x＋2－x2

＝2，当且仅当x＝2－x，即x10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值．

82

[解] (1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，

xy又x>0，y>0， 82

则1＝＋≥2 xy828·＝，得xy≥64，

xyxy当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立． 所以xy的最小值为64.

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82

(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，

xy2x8y?82?则x＋y＝?＋?·(x＋y)＝10＋＋ ?xy?

yyx≥10＋2

2x8y·＝18.

x当且仅当x＝12且y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18.

B组 能力提升

1．已知x，y均为正实数，且A．24 C．20

C [∵x，y均为正实数，且

111＋＝，则x＋y的最小值为( ) x＋2y＋26

B．32 D．28

111＋＝， x＋2y＋26

则x＋y＝(x＋2＋y＋2)－4＝6?4≥6×2＋2

?1＋1?(x＋2＋y＋2)－4＝6?2＋x＋2＋y＋2?－

??y＋2x＋2??x＋2y＋2???

x＋2y＋2

·－4＝20，当且仅当x＝y＝10时取等号． y＋2x＋2

∴x＋y的最小值为20.]

a4＋4b4＋1

2．(2020·天津高考)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．

ab4 [∵a，b∈R，ab>0，

a4＋4b4＋14a2b2＋11∴≥＝4ab＋≥2ababab22

?a＝2b，

1

4ab·＝4，

ab?

当且仅当?1

4ab＝，?ab?

2

?a＝，?2即?

2b＝??4

22

时取得等号．

a4＋4b4＋1

故的最小值为4.]

ab3．近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/千克、b元/千克，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3千克鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠(两次平均价格低视为实惠)________．(在横线上填甲或乙即可)

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3a＋3ba＋b202ab乙 [甲购买产品的平均单价为＝，乙购买产品的平均单价为＝.

621010a＋b＋

ab2aba－b∵－＝≥0，且两次购买的单价不同，

2a＋b2a＋b∴a≠b，∴

a＋b2

a＋b2

－2ab＞0， a＋b∴乙的购买方式的平均单价较小．故答案为乙．]

4．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)(单12

位：万元)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x＋10x(单位：万元)．当年产量不少于80千

310 000

件时，C(x)＝51x＋－1 450(单位：万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，

x该厂生产的商品能全部售完．

(1)写出年利润L(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

[解] (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05×1 000x万元，1212

依题意得，当0＜x＜80时，L(x)＝(0.05×1 000x)－x－10x－250＝－x＋40x－250；

33

10 000?10 000?，

当x≥80时，L(x)＝(0.05×1 000x)－51x－＋1 450－250＝1 200－?x＋?x?

x?

1

－x＋40x－250，0＜x＜80，??3

则L(x)＝?

?x＋10 000?，x≥80.

1 200－???x???

2

12

(2)当0＜x＜80时，L(x)＝－(x－60)＋950，

3此时，当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950.

?10 000?≤1

当x≥80时，L(x)＝1 200－?x＋200－2??

x?

x·

10 000

＝1 200－200＝1 000，

x10 000

当且仅当x＝时，即x＝100时，L(x)取得最大值1 000.

x因为950＜1 000，所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．最大利润为1 000万元．

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