B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 解:当α⊥β时,由面面垂直的性质定理知b⊥α,则b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件.而当a?α,且a∥m时,∵b⊥m,∴b⊥a,而此时平面α与平面β不一定垂直.∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件.故选A.
5.已知直二面角α-l-β,点A∈α,AC⊥l,C为垂足,B∈β,BD⊥l,D为垂足.若AB=2,AC=BD=1,
则D到平面ABC的距离等于( )
236A. B. C. D.1
333
解:由题意知平面ABC⊥平面β,∴点D到BC的距离为点D到平面ABC的距离.由题设知BC=3,CD=2,
26
∴点D到平面ABC的距离为=.故选C.
33
6.把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B-AD-C,则BD与平面ABC所成角的正切值为( )
23A.2 B. C.1 D. 23
解:在面ADC中,过D作DE⊥AC,交AC于点E.
连接BE,二面角B-AD-C为直二面角,∴BD⊥平面ADC,BD⊥AC.又∵DE∩BD=D,∴AC⊥平面BDE.∴
12
平面BDE⊥平面ABC,故∠DBE是BD与平面ABC所成角,由翻折不变性可知DE=AB=BD,在Rt△BDE
22
S射S△ADCDEDE23
中,tan∠DBE==(亦可由射影法cos∠BED====或坐标法求得).故选B.
BD2S原S△ABCBE37.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC
=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=______时,CF⊥平面B1DF.
解:B1D⊥平面ACC1A1,所以B1D⊥CF. 要CF⊥平面B1DF,只要CF⊥DF即可.
令CF⊥DF,∠A1FD=∠ACF,∠AFC=∠A1DF, 设AF=x,则A1F=3a-x.
ACAF
由Rt△CAF∽Rt△FA1D,得=,
A1FA1D
2ax即=,解得x=a或x=2a.(亦可由勾股定理求得).故填a或2a. 3a-xa
8.已知直线l⊥平面α,直线m?平面β.给出下列命题:①α∥β?l⊥m;②α⊥β?l∥m;③l∥m?α⊥β;④l⊥m?α∥β.其中正确命题的序号是_______.
解:由面面平行的性质和线面垂直的定义知①正确;l⊥α,α⊥β?l∥β或l?β,l与m平行、相交、异面都有可能,故②错;由线面垂直的定义和面面垂直的判定知③正确;l⊥α,l⊥m?m?α或m∥α,又m?β,所以α,β可能平行或相交,故④错误.故填①③.
9.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是正方形BCC1B1的中心,点F,G分别是棱C1D1,DD1的中点.设点E1是点E在平面DCC1D1内的正投影.
(1)证明:直线FG⊥平面FEE1;
(2)求异面直线E1G与EA所成角的正弦值. 解:如图示,连接EE1,EB.
(1)证明:∵E1G=2,FE1=FG=2,
22
易得FE21+FG=E1G, ∴FG⊥FE1.
又∵EE1⊥面CC1D1D, ∴EE1⊥FG.
又EE1∩FE1=E1,∴FG⊥平面FEE1. (2)∵E1G∥AB,
∴∠EAB即为异面直线E1G与EA所成的角. ∵BE⊥AB,AB=2,BE=2,∴AE=6.
BE23
∴sin∠EAB===.
AE63
10.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,△ABC为正三角形,D、E分别是BC、CA的中点.
(1)证明:平面PBE⊥平面PAC.
(2)在BC上是否存在一点F,使AD∥平面PEF?说明理由. 解:(1)证明:∵PA⊥底面ABC,BE?平面ABC, ∴PA⊥BE.
又△ABC是正三角形,E是AC的中点, ∴BE⊥AC,又PA∩AC=A. ∴BE⊥平面PAC.
又BE?平面PBE,∴平面PBE⊥平面PAC. (2)存在满足条件的点F,且F是CD的中点. 理由:∵E、F分别是AC、CD的中点, ∴EF∥AD.
而EF?平面PEF,AD?平面PEF, ∴AD∥平面PEF.
湖南)如图,11.(2012·在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
(1)证明:BD⊥PC;