B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件 解：当α⊥β时，由面面垂直的性质定理知b⊥α，则b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件．而当a?α，且a∥m时，∵b⊥m，∴b⊥a，而此时平面α与平面β不一定垂直．∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件．故选A.

5．已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，

则D到平面ABC的距离等于( )

236A． B． C． D．1

333

解：由题意知平面ABC⊥平面β，∴点D到BC的距离为点D到平面ABC的距离．由题设知BC＝3，CD＝2，

26

∴点D到平面ABC的距离为＝.故选C.

33

6．把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B-AD-C，则BD与平面ABC所成角的正切值为( )

23A．2 B． C．1 D． 23

解：在面ADC中，过D作DE⊥AC，交AC于点E.

连接BE，二面角B-AD-C为直二面角，∴BD⊥平面ADC，BD⊥AC.又∵DE∩BD＝D，∴AC⊥平面BDE.∴

12

平面BDE⊥平面ABC，故∠DBE是BD与平面ABC所成角，由翻折不变性可知DE＝AB＝BD，在Rt△BDE

22

S射S△ADCDEDE23

中，tan∠DBE＝＝(亦可由射影法cos∠BED＝＝＝＝或坐标法求得)．故选B.

BD2S原S△ABCBE37．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC

＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝______时，CF⊥平面B1DF.

解：B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF. 要CF⊥平面B1DF，只要CF⊥DF即可．

令CF⊥DF，∠A1FD＝∠ACF，∠AFC＝∠A1DF， 设AF＝x，则A1F＝3a－x.

ACAF

由Rt△CAF∽Rt△FA1D，得＝，

A1FA1D

2ax即＝，解得x＝a或x＝2a.(亦可由勾股定理求得)．故填a或2a. 3a－xa

8．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β.给出下列命题：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.其中正确命题的序号是_______．

解：由面面平行的性质和线面垂直的定义知①正确；l⊥α，α⊥β?l∥β或l?β，l与m平行、相交、异面都有可能，故②错；由线面垂直的定义和面面垂直的判定知③正确；l⊥α，l⊥m?m?α或m∥α，又m?β，所以α，β可能平行或相交，故④错误．故填①③.

9．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F，G分别是棱C1D1，DD1的中点．设点E1是点E在平面DCC1D1内的正投影．

(1)证明：直线FG⊥平面FEE1；

(2)求异面直线E1G与EA所成角的正弦值． 解：如图示，连接EE1，EB.

(1)证明：∵E1G＝2，FE1＝FG＝2，

22

易得FE21＋FG＝E1G， ∴FG⊥FE1.

又∵EE1⊥面CC1D1D， ∴EE1⊥FG.

又EE1∩FE1＝E1，∴FG⊥平面FEE1. (2)∵E1G∥AB，

∴∠EAB即为异面直线E1G与EA所成的角． ∵BE⊥AB，AB＝2，BE＝2，∴AE＝6.

BE23

∴sin∠EAB＝＝＝.

AE63

10．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点．

(1)证明：平面PBE⊥平面PAC.

(2)在BC上是否存在一点F，使AD∥平面PEF？说明理由． 解：(1)证明：∵PA⊥底面ABC，BE?平面ABC， ∴PA⊥BE.

又△ABC是正三角形，E是AC的中点， ∴BE⊥AC，又PA∩AC＝A. ∴BE⊥平面PAC.

又BE?平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAC. (2)存在满足条件的点F，且F是CD的中点． 理由：∵E、F分别是AC、CD的中点， ∴EF∥AD.

而EF?平面PEF，AD?平面PEF， ∴AD∥平面PEF.

湖南)如图，11．(2012·在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.

(1)证明：BD⊥PC；