5.（20分）一长为2l的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m的小物块D和一质量为?m（?为常数）的小物块B，杆可绕通过小物块B所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一质量为m的小环C套在细杆上（C与杆密接），可沿杆滑动，环C与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原长为l，劲度系数为k，两端分别与小环C和物块B相连. 一质量为m的小滑块A在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短. 碰撞 时滑块C恰好静止在距轴为r（r>l）处. 1. 若碰前滑块A的速度为v0，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；

2. 若碰后物块D、C和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A的速度v0应满足的条件. 复赛）

30届（6.（ 22 分）如图，一质量均匀分布的刚性螺旋环质量为m，半径为 R ，螺距H =πR ，可绕竖直的对称轴OO′，无摩擦地转动，连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不计．一质量也为 m 的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动,首先扶住小球使其静止于螺旋环上的某一点 A ，这时螺旋环也处于静止状态．然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑，螺旋环便绕转轴 OO′，转动．求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向的距离为 h 时，螺旋环转动的角速度和小球对螺旋环作用力的大小．(27届复赛)

3.解法一

取直角坐标系Oxy，原点O位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为

x2y2?2?1 2ab

（1）

a、b分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S位于椭圆的一个焦点处，如图1所示．

以Te表示地球绕太阳运动的周期，则Te?1.00年；以ae表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则ae?1.00AU，根据开普勒第三定律，有

a3T2 3?2 （2） y

aeTe设c为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得

P bc?a?r0 （3）

rP S ?P P0xaOb?a2?c2 （4） 由图1可知，P点的坐标

图1

x?c?rPcos?P （5） y?rPsin?P （6） 把（5）、（6）式代入（1）式化简得

?a（7） 根据求根公式可得

2sin2?P?b2cos2?P?rP2?2b2crPcos?P?b2c2?a2b2?0

b2?a?ccos?P?rP?22asin?P?b2cos2?P（8）

由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得

rP?0.896AU (9)

可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为

E=?(10)

Gmms 2a式中m为彗星的质量．以vP表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有

Gmms12?Gmms?mvP??????2r2a?P?（11）

得

vP?Gms?（12）

代入有关数据得

21?rPa

vP=4.39?10m?s (13)

设P点速度方向与SP0的夹角为?(见图2)，根据开普勒第二定律

4?1rPvPsin????P??2?（14）

其中?为面积速度，并有

??πab （15） TyP 由（9）、（13）、（14）、（15）式并代入有关数据可得

?brP ??127 （16）

S axP0O图2 ?P ?