角的斜向下方的推力F＝10 N的作用，在水平地面上移动了距离s1＝2 m后撤去推力，此物体又滑行了s2＝1.6 m的距离后停止运动。已知物体与地面间的动摩擦因数为0.2，g取10 m/s，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)推力F对物体做的功；
(2)全过程中摩擦力对物体所做的功。
解析：(1)推力F对物体做功为： W＝Fs1cos 37°＝10×2×0.8 J＝16 J。 (2)撤去推力F前，
W1＝－f1s1＝－μ(Fsin 37°＋mg)s1
＝－0.2×(10×0.6＋2×10)×2 J＝－10.4 J 撤去推力F后，
W2＝－f2s2＝－μmgs2＝－0.2×2×10×1.6 J＝－6.4 J 全过程中摩擦力对物体做功 W总＝W1＋W2＝－16.8 J。 答案：(1)16 J (2)－16.8 J
2
突破点(二) 变力做功的五种计算方法一利用动能定理求变力做功
利用公式W＝Flcos α不容易直接求功时，尤其对于曲线运动或变力做功问题，可考虑由动能的变化来间接求功，所以动能定理是求变力做功的首选。
[例1] 如图所示，板长为L，板的B端静止放有质量为m的小物体，的动摩擦因数为μ。开始时板水平，在缓慢转过一个小角度α的过程中，与板相对静止，则在这个过程中( )
物体与板间小物体保持
A．摩擦力对小物体做功为μmgLcos αsin α B．合力对小物体做功为mgLsin α C．弹力对小物体做功为0 D．板对小物体做功为mgLsin α
[解析] 摩擦力的方向与物体运动的方向垂直，则摩擦力不做功，故A错误；物体受重力、支持力和静摩擦力，重力做功为－mgLsin α，摩擦力不做功，合外力做功为零，根据动能定理，有：WG＋Wf＋WN＝0，故WN＝mgLsin α，故B、C错误；摩擦力不做功，故板对物体做的功等于支持力做的功，即为mgLsin α，故D正确。
[答案] D
二利用微元法求变力做功
将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个位移上的恒力所做功的代数和。此法常用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
[例2] 用大小不变、方向始终与物体运动方向一致的力F，将质量为m半径为R的固定圆弧轨道从A点推到B点，圆弧对应的圆心角为60°，如图此过程( )
A．力F对物体做的功为FRsin 60° mgR
B．力F对物体做的功为
2πRF
C．力F对物体做的功为
3D．力F是变力，无法计算做功大小
[解析] 题图中，力F虽然方向不断变化，是变力，但由于该力的方向始终与物块运动的方向相同，所以该力做的功与路程成正比，即：
60°πRF
W＝Fs＝F··2πR＝。
360°3故C正确，A、B、D错误。 [答案] C
三化变力为恒力求变力做功
有些变力做功问题通过转换研究对象，可转化为恒力做功，用W＝Flcos α求解。此法常用于轻绳通过定滑轮拉物体做功的问题中。
[例3] 如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，滑块经B、C两点的动能分别为EkB和EkC，图中AB＝BC，则( )
的小物体沿所示，则在
A．W1＞W2 C．W1＝W2
B．W1＜W2
D．无法确定W1和W2的大小关系
[解析] 轻绳对滑块做的功为变力做功，可以通过转换研究对象，将变力做功转化为恒力做功；因轻绳对滑块做的功等于拉力F对轻绳做的功，而拉力F为恒力，W＝F·Δl，Δl为轻绳拉滑块过程中力F的作用点移动的位移，大小等于定滑轮左侧绳长的缩短量，由题图可知，ΔlAB＞ΔlBC，故W1＞W2，A正确。
[答案] A
四利用平均力求变力做功
若物体受到的力方向不变，而大小随位移均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F＝
F1＋F2
的恒2
力作用，F1、F2分别为物体在初、末位置所受到的力，然后用公式W＝Flcos α求此变力所做的功。
[例4] [多选]如图所示，n个完全相同、边长足够小且互不粘连的小方块
依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以速度v在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的大小为( )
12
A.Mv 2
12
B．Mv C.μMgl D．μMgl
2
[解析] 总质量为M的小方块在进入粗糙水平面的过程中滑动摩擦力由0均匀增大，当全部进入时摩11
擦力达最大值μMg，总位移为l，平均摩擦力为Ff＝μMg，由功的公式可得Wf＝－Ff·l＝－μMgl，
221121212
功的大小为μMgl，C正确，D错误；用动能定理计算，则为：Wf＝0－Mv＝－Mv，其大小为Mv，A正
2222确，B错误。
[答案] AC
五利用F-x图像求变力做功
在F -x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。
[例5] 某中学的部分学生组成了一个课题小组，对海啸的威力进行了模拟研究，他们设计了如下的模型：如图甲，在水平地面上放置一个质量为m＝4 kg的物体，让其在随位移均匀减小的水平推力作用下运动，推力F随位移x变化的图像如图乙所示。已知物体与地面之间的动摩擦因数为μ＝0.5，g＝10 m/s。求：
2
(1)运动过程中物体的最大加速度为多少？ (2)在距出发点什么位置时物体的速度达到最大？ (3)物体在水平面上运动的最大位移是多少？ [解析] (1)由牛顿第二定律得：F－μmg＝ma 当F＝100 N时，物体所受的合力最大，加速度最大 F?100?22
则有：a＝－μg＝?－0.5×10?m/s＝20 m/s。
m?4?(2)由题给图像可得推力F随位移x变化的函数关系为： F＝100－25x(N)
速度最大时加速度为0，则有： F＝μmg＝0.5×4×10 N＝20 N 代入解得：x＝3.2 m。
1
(3)由图像可得推力对物体做功等于图像与横轴所围图形的面积，即：W＝×100×4 J＝200 J
2根据动能定理物体在水平面上运动有：W－μmgxm＝0 代入数据解得：xm＝10 m。
[答案] (1)20 m/s (2)3.2 m (3)10 m
2