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∴；

②当的坐标为时，，，所以为直角三角形，

，，

∴

综上可知：或1.

（Ⅱ）由题意可知直线的斜率存在.设，，，

由得：

由得：，

∵，∴即

∴，结合得：∵，∴

从而， ，

∵点在椭圆上，∴，整理得：

即，∴，或.

千里之行 始于足下

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练习1．已知椭圆直线，若椭圆上存在两个不同的点，关于对称，设的中点

为.

（1）证明：点在某定直线上；（2）求实数的取值范围.

【答案】(1)见证明；(2) 或.

【解析】（1）当时，显然不符合题意，舍；

当时，设直线方程为，，，

则由相减，整理得，，

即，.又，.，即.

.故点在定直线上.

（2）由（1）易得点，由题意知，点必在椭圆内部，

，解得或.

练习2．已知椭圆的离心率为，且过点．

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（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）设不过原点的直线满足

．

，与该椭圆交于两点，直线的斜率分别为，

（i）当变化时，（ii）求

是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由；

面积的取值范围．

【答案】（Ⅰ）y2＝1；（Ⅱ）（i）见解析；（ii）（0，1）.

【解析】（Ⅰ）由题设条件，设ck，a＝2k，则b＝k，

∴椭圆方程为1，把点（，）代入，得k2＝1，∴椭圆方程为y2＝1．

（Ⅱ）（i）当k变化时，m2是定值．

证明如下：由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，设

∴，．∵直线OP，OQ的斜率依次为k1，k2，

∴4k＝k1+k2，

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∴2kx1x2＝m（x1+x2），由此解得，验证△＞0成立．∴当k变化时，是定值．

②S△OPQ|x1﹣x2|?|m|，令t＞1，得S△OPQ1，

∴△OPQ面积的取值范围S△OPQ∈（0，1）．

练习3．已知椭圆C：的左右顶点为A、B，右焦点为F，一条准线方程是，短

轴一端点与两焦点构成等边三角形，点P、Q为椭圆C上异于A、B的两点，点R为PQ的中点 求椭圆C的标准方程；

直线PB交直线于点M，记直线PA的斜率为，直线FM的斜率为，求证：为定值；

若，求直线AR的斜率的取值范围．

【答案】（1）（2）见解析（3）

【解析】椭圆的一条准线方程是，可得

，

，

短轴一端点与两焦点构成等边三角形，可得

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