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【答案】(1) (2)见解析

【解析】（Ⅰ）由题意知：，，.

解得，，，所以椭圆方程为.

∵，∴，∴，即.

所以直线过定点.

当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，，其中.

∴ ，由，得，∴.

∴当直线的斜率不存在时，直线也过定点.

综上所述，直线恒过定点.

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（七）定值问题

例7. 已知椭圆的左右焦点分别为与

和

，椭圆上的点到右焦点的最短距离为

，为坐标平面上的一点，过点作直线分别与椭圆交于点，和，，如图所示.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点在双曲线（顶点除外）上运动，证明为定值，并求出此定值.

【答案】（1）； （2）.

【解析】（1）依题意有，而，故，，

从而椭圆：.

（2）设，则，因双曲线的顶点恰为椭圆的焦点，而因而直线与的

斜率都存在，分别设为，则

由于，设直线的斜率为，则

，代入椭圆方程并化简得

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设，则

从而.

同理有，

从而有

从而

为定值

.

练习1．已知椭圆：（1）求椭圆的方程；

的四个顶点围成的四边形的面积为，其离心率为

（2）过椭圆的右焦点作直线（轴除外）与椭圆交于不同的两点，，在轴上是否存在定点，使为定值？若存在，求出定点坐标及定值，若不存在，说明理由.

【答案】(1) (2)见解析

【解析】（1）由得：所以椭圆方程为

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（2）由于直线l过右焦点F（1，0），可设直线l方程为：x=my+1,代入椭圆方程（4+3m2)x2-8x+4-12m2=0(或（4+3m2)y2+6my-9=0) △=64-（4+3m2) (4-12m2)>0

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程①的两个解，

并整理得：

由韦达定理得：x1+x2=, x1x2= ，y1+y2=,y1y2

假设在x轴上存在定点P(x0,0)，使为定值，则：

(x1-x0)(x2-x0)+y1y2=x1x2+y1y2-x0(x1+x2)+x02=+-+x02

=

由题意，上式为定值，所以应有：即：12x02-48=-15-24x0+12x02

解得：x0=,此时

练习2．已知圆于点.

（Ⅰ）求点的轨迹的方程. （Ⅱ）斜率不为0的动直线过点

，点，点是圆上任意一点，线段的中垂线与交

且与轨迹交于，两点，为坐标原点.是否存在常数，使得

为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.

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