5 停留时间分布与反应器

5.1设F(θ)及E(θ)分别为闭式流动反应器的停留时间分布函数及停留时间分布密度函数，θ为对比时间。

（1） （1） 若该反应器为活塞流反应器，试求

（a） （a） F(1)(b)E(1)(c)F(0.8)(d)E(0.8)(e)E(1.2) (2)若该反应器为全混流反应器，试求

（a）F(1)(b)E(1)(c)F(0.8)(d)E(0.8)(e)E(1.2) (3) 若该反应器为一个非理想流动反应器，试求

（a）F(∞)(b)F(0)(c)E(∞)(d)E(0)(e)0(f)0 解：（1）因是活塞流反应器，故符合理想活塞流模型的停留时间分布，由（5.33-5.36）式可得：

(a)F(1)=1.0(b)E(1)=∝(c)F(0.8)=0(d)E(0.8)=0(e)E(1.2)=0

（2） （2） 因是全混流反应器，故符合理想全混流模型的停留时间分布，由

（5.33-5.36）式可得：

（a）F(1)=1-e-1=0.6321 (b)E(1)=e-1=0.3679 (c)F(0.8)=1- e-0.8=0.5507 (d)E(0.8)= e-0.8=0.4493 (e)=E(1.2)=0.3012 （3） （3） 因是一个非理想流动反应器，故可得：

（a）F(∞)=1 (b)F(0)=0 (c)E(∞)=0 (d)E(0)>1 (e)?(f)

?0??E(?)d????E(?)d?E(?)d?=1

??0?E(?)d?=1

5.2用阶跃法测定一闭式流动反应器的停留时间分布，得到离开反应器的示踪剂与时间的关系如下：

?0?c(t)??t?2?1?t?22?t?3t?3

试求：

（1） （1） 该反应器的停留时间分布函数F(θ)及分布密度函数E(θ)。 （2） （2） 数学期望?及方差??。

word文档可编辑

2（3） （3） 若用多釜串联模型来模拟该反应器，则模型参数是多少？ （4） （4） 若用轴相扩散模型来模拟该反应器，则模型参数是多少？

（5）若在此反应器内进行一级不可逆反应，反应速率常数k=1min-1，且无副反应，试求反应器出口转化率。

解：（1）由图可知C0=C(∝)=1.0，而F(θ)=F(t)=C(t)/ C(∝)，所以：

0t?2,??F(?)?F(t)??t?22?t?3,?1t?3,?如下图所示：

由（5.20）式可得平均停留时间：

??0.80.8???1.2??1.2

t??tE(t)dt??tdF(t)???F(t)?2?dF(t)?2.5min000?11

即为上图中阴影面积。由（5.5）式得：

?0dF(t)?E(t)???1dt?0?所以：

tp22?t?3tf3

?0?E(?)?tE(t)??2.5?0?如右图所示：

?p0.80.8???1.2?f1.2

（2）由于是闭式系统，故t?Vr/Q??，所以??1 由式（5.23）可得方差：

?????E(?)d?????2.5?2d??1?0.0133300.82?221.2

（3）由（5.20）式可得模型参数N为：N?1/???1/0.01333?75

2??2/Pe，所以： ?（4） （4） 由于返混很小，故可用

2Pe?2/??2?2/0.01333?150

（5）用多釜串联模型来模拟，前已求得N=75，应用式（3.50）即可计算转化率：

1?2.575XA?1?1/(1?k)?1?1/(1?)?0.9145N75

N?同理，亦可用扩散模型即（5.69）式得XA=0.9146。两种方法计算结果相当吻合。

5.3用阶跃法测定一闭式流动反应器的停留时间分布，得到离开反应器的示踪剂与时间的关系如下： t,s 0 15 25 35 45 55 65 75 90 100 word文档可编辑

C(t),g/cm3 0 0.5 1.0 2.0 4.0 5.5 6.5 7.0 7.7 7.7 （1） （1） 试求该反应器的停留时间分布及平均停留时间。 （2）若在该反应器内的物料为微观流体，且进行一级不可逆反应，反应速率常数k=0.05s-1,预计反应器出口处的转化率。

（3）若反应器内的物料为宏观流体，其它条件均不变，试问反应器出口处的转化率又是多少？

解：（1）由式（5.17）计算出反应器的停留时间分布，即： F(t)=C(t)/ C(∝)=C(t)/7.7 所得数据见下表所示： t,s 0 15 25 35 45 55 65 75 95 100 F(t0 0.0640.1290.2590.5190.7140.8440.9091.01.0) 9 9 7 5 3 2 1 0 0 将上述数据作图即为反应器停留时间分布。 根据

t??tdF(t)?t?101

由右图可知，可用试差法得到t，使两块阴影面积相等。由图试差得t?46s。 （2）因进行的是一级反应，故可采用离析流模型预计反应器出口转化率。 由式（3.12）可得间歇反应器中进行一级不可逆反应时转化率与反应时间的关

）?1?exp(0.05t) 系：XA?1?exp(?kt代入离析流模型可得反应器出口处平均转化率：

（A）

采用图解积分法对（A）式进行积分，其中不同时间t下的F(t)如上表所示，

000XA??XAE(t)dt??XAdF(t)???1?exp(?0.05t)?dF(t)?11?1?exp(?0.05t)?的值列于下表中： 0 15 25 35 45 55 65 75 95 100 0 0.520.710.820.8940.9360.9610.9760.9910.99305t 76 35 62 6 1 2 5 3 3 以F(t)～(1-e-0.05t)作图，计算积分面积得： t 1-e-0.XA?84.5%

（3） （3） 由于是一级反应，所以混合态对反应速率无影响，故反应器出口

'X转化率#与微观流体时相同，即A?XA?84.5%。

5.4为了测定一闭式流动反应器的停留时间分布，采用脉冲示踪法，测得反应器出口物料中示踪剂浓度如下： t,min 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C(t),g/l 0 0 3 5 6 6 4.5 3 2 1 0 试计算：

（1） （1） 反应物料在该反应器中的平均停留时间t2?和方差?。

（2） （2） 停留时间小于4.0min的物料所占的分率。

解：（1）根据题给数据用（5.13）式即可求出E(t)，其中m可由（5.14）

word文档可编辑

式求得。本题可用差分法。

m??QC(t)?t?(3?5?6?6?4.5?3?2?1)Q?t?(3?5?6?6?4.5?3?2?1)?1?Q?30.5QE(t)?

然后按照（5.20）和（5.21）式算出平均停留时间和方差。此处用差分法，即：

QC(t)QC(t)C(t)??m30.5Q30.5tE(t)?t?t??E(t)?t （A） ???tE(t)?t?t (B)

2t22为了计算t和??，将不同时间下的几个函数值列与下表中：

t C(t) E(t) tE(t)△t t2E(t)△t E(t)△t -1 2 min g/l minmin min0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 3 0.09836 0.09836 0.1967 0.3934 3 5 0.1639 0.1639 0.4917 1.475 4 6 0.1967 0.1967 0.7968 3.147 5 6 0.1967 0.1967 0.9835 4.918 6 4.5 0.1475 0.1475 0.8850 5.310 7 3 0.09836 0.09836 0.6885 4.8195 8 2 0.06557 0.06557 0.5246 4.197 9 1 0.03279 0.03279 0.2951 2.656 10 0 0 0 0 0 ∑ 0.99988 4.852 26.92 将上述数据代入（A）和（B）式得平均停留时间和方差： 2t?4.852/0.99988?4.853min?t2?26.92?4.8532?3.372min??2??t2/t?3.372/4.8532?0.1432

（2）以E(t)～t作图（略），用图解积分法的：

所以，停留时间小于4.0min的物料占的分率为36.2%。

5.5已知一等温闭式液相反应器的停留时间分布密度函数E(t)=16texp(-4t),min-1，试求： （1） （1） 平均停留时间; （2） （2） 空时；

02F(4.0)??E(t)dt?0.3624.0word文档可编辑

（3） （3） 空速；

（4） （4） 停留时间小于1min的物料所占的分率； （5） （5） 停留时间大于1min的物料所占的分率；

（6）若用多釜串联模型拟合，该反应器相当于几个等体积的全混釜串联？ （7）若用轴向扩散模型拟合，则模型参数Pe为多少？

（8）若反应物料为微观流体，且进行一级不可逆反应，其反应速率常数为6min-1,CA0=1mol/l,试分别采用轴向扩散模型和多釜串联模型计算反应器出口转化率，并加以比较；

（9）若反应物料为宏观流体，其它条件与上述相同，试估计反应器出口转化率，并与微观流体的结果加以比较？

解：（1）由（5.20）式得：

t??tE(t)dt??t16te?4tdt?0.5min00??（2）因是闭式系统，所以：

??t?0.5min

（3） （3） 空速为空时的倒数，所以：

S??1??1?2min?10.5

11?4t?4t0011?4?e?4tdt?0.908400

（4）

所以，停留时间小于1min的物料所占的分率为90.84%。

F(1)??E(t)dt??16tedt??4te（5）1?F(1)?1?0.9084?0.0916。停留时间大于1min的物料占9.16%。 （6）先计算方差：

????(???)E(?)d????E(?)d??????24?e?2?d??1222000??2?3?2??????????e?1?0.520根据多釜串联模型参数与方差的关系得：

1N?2??2??0.5

2?(7)因??0.5，所以返混程度较大，故扩散模型参数Pe与方差关系应用：

122????2(1?e?Pe)PePe

2采用试差法得：Pe=2.56。

（8）因是一级不可逆反应，所以估计反应器出口转化率既可用扩散模型，也可用多釜串联模型或离析流模型，其结果应近似。 采用多釜串联模型，由（3.50）式得：

1?XAf?CA11???0.16N2CA0(1?k?/N)(1?6?0.5/2)

word文档可编辑

所以有：Af

采用扩散模型，前已得到Pe=2.56,所以： 代入（5.69）式得：

X?1?0.16?0.84??(1?4k?/Pe)0.5?(1?4?6?0.5/2.56)0.5?2.385

?CA?Pe(1??)??Pe(1??)??22?4?/?(1??)exp???(1??)exp?????CA022????????2.56(1?2.385)??2.56(1?2.385)??2?4?2.385/?(1?2.385)2exp???(1?2.385)exp?????22???????0.1415

CXAf?1?A?1?0.1415?0.8585CA0所以有：

?6tC(t)?CeA0（9）用离析流模型，因一级不可逆反应，故间歇反应器的A，所

以：

?C(t)??CA?6t?4tA??E(t)dt??e?16edt??16te?10tdt?0.160C00CA0A0

反应器出口转化率为XA=0.84，计算结果同前题用多釜串联模型与扩散模型结果

相近。

5.6微观流体在全长为10m的等温管式非理想流动反应器中进行二级不可逆液相反应，其反应速率常数k为0.266l/mol.s，进料浓度CA0为1.6mol/l,物料在反应器内的线速度为0.25m/s,实验测定反应器出口转化率为80%，为了减小返混的影响，现将反应器长度改为40m，其它条件不变，试估计延长后的反应器出口转化率将为多少？

解：当反应器长度L=10m时，其空时为

??VrL10???40sQU0.25kCA0??0.266?1.60?40?17.02

已知有XA=0.80 所以：1- XA=0.20。

由上述kCA0?与1- XA值，利用图5.23可查得：Da/UL=4。所以轴向有效扩散系数：

Da?4UL?4?0.25?10?10m2/s

当反应器长度改为40m，其空时应为

L'40?'???160sU0.25

所以，kCA0?'?0.266?1.60?160?68.10

而反应器长度改变，轴向有效扩散系数Da值不变，所以：

Da/UL'?10/0.25/40?1

word文档可编辑

再利用图5.23，由kCA0?'与Da/UL'值查得：1-XA=0.060。 所以反应器出口转化率应为：XA=1-0.060=0.94。

显然是由于反应器长度加大后，轴向返混减小，致使出口转化率提高。

5.7在一个全混流釜式反应器中等温进行零级反应A→B,反应速率rA=9mol/min.l,进料浓度CA0为10mol/l，流体在反应器内的平均停留时间t为1min,请按下述情况分别计算反应器出口转化率： （1） （1） 若反应物料为微观流体； （2） （2） 若反应物料为宏观流体。

并将上述计算结果加以比较，结合题5.5进行讨论。

解：（1）因是微观流体，故可用全混流反应器的物料衡算式（5.24）,且又是闭式系统，??t?1min，所以：

CA0?CA10?CA??1RA9

解得：CA?1mol/l XA?1?CA/CA0?1?1/10?0.90

??（2）宏观流体且是零级反应，故只能用离析流模型（5.38）式，先确定式中CA(t)与t的关系。在间歇反应器中：

积分上式得：

?dCA?9mol/min.ldt CACA0?1.0?0.9t?????0??10910tf9 t?上式中t=10/9min为完全反应时间。而全混流反应器的停留时间分布为：

11E(t)?exp(?t/?)?exp(?t/t)?t

代入（5.38）式中得：

1?X??(CA/CA0)E(t)dt??0'A?10/901(1.0?0.9t)exp(?t/t)dt?0.396t

'X所以出口转化率A?0.604

由此可见，对于零级反应，其他条件相同，仅混合态不同，则出口转化率是不

同的。且宏观流体的出口转化率为0.604，低于同情况下微观流体的出口转化率。但习题5.5是一级反应，所以混合态对出口转化率没有影响。

5.8在具有如下停留时间分布的反应器中，等温进行一级不可逆反应A→P，其反应速率常数为2min-1。

0?tp1E(t)???exp(1?t) t?1

word文档可编辑

试分别采用轴向扩散模型及离析流模型计算该反应器出口的转化率，并对计算结果进行比较。

解：（1）用轴向扩散模型，故先确定模型参数Pe。为此需确定该反应器的停留时间分布特征--t与??。

2??t??tE(t)dt??texp(1?t)dt?2.0min00???tE(t)dt?t??texp(1?t)dt?t00?21220022t?22?22??texp(1?t)dt??texp(1?t)dt?t?5?4?1min2????/t?1/22?0.2522??2??2(1?e?Pe)?0.25PePe而

迭代解得：Pe=6.8。代入（5.69）式中，得：

22t

??(1?4k?/Pe)1/2?(1?4?2?2/6.8)1/2?1.831

所以有：

CA?CA04?1.831?0.05426.86.8????(1?1.831)2exp??(1?1.831)??(1?1.831)2exp??(1?1.831)??2??2?

反应器出口转化率为：XA=1-0.0542=0.9458

（2）用离析流模型，对于一级反应：

CA(t)?(?kt)?exp(?2t)CA0n歇所

以

：

1?XA???0反应器出口转化率为：XA=1-0.04511=0.9549

上述两种计算方法极为近似，这是由于在反应器中进行的是一级不可逆反应，混合态对其无影响。

??CA(t)E(t)dt??exp(?2t)exp(1?t)dt??exp(1?3t)dt?0.0451111CA0

word文档可编辑