突破与提升策略

【故事介绍】

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归胡不归…”（“胡”同“何”）

而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家

【模型建立】

如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1

【问题分析】

?VVACBC1??=?BC?1AC?，记k?1， V2V1V1?V2V2?ACBC的值最?V2V1即求BC+kAC的最小值．

【问题解决】

构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．

将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．

【模型总结】

在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．

而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．

1.如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD?5BD的最小值是_______． 5

【分析】本题关键在于处理“sin?ABE5考虑tanA=2，△ABE三边之比为1:2:5，BD”，

555，故作DH⊥AB交AB于H点，则DH?BD． 55

问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时CD?DH?CH?BE?45．

【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：

则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．

2.如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB?3PD的最小值等于________． 2

【分析】考虑如何构造“33已知∠A=60°，且sin60°=，故延长AD，PD”，

22作PH⊥AD延长线于H点，即可得PH?3 PD，将问题转化为：求PB+PH最小值．

2

当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长．

3.如图，已知抛物线y??x?2??x?4?（k为常数，且k>0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y??交点为D．

（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；

（2）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少

【分析】第一小问代点坐标，求解析式即可，此处我们直接写答案：A（-2,0），

3x?b与抛物线的另一3k8B（4,0），直线解析式为y??为y?343，D点坐标为?5,33，故抛物线解析式x?33??332383．另外为了突出问题，此x??x?2??x?4?，化简为：y?x2?9999处略去了该题的第二小问．

???点M运动的时间为??AF?DF?，即求?AF?DF?的最小值． 22????11

接下来问题便是如何构造

DF，考虑BD与x轴夹角为30°，且DF方向不变，故2DF． 2过点D作DM∥x轴，过点F作FH⊥DM交DM于H点，则任意位置均有FH=当A、F、H共线时取到最小值，根据A、D两点坐标可得结果．

4.抛物线y??6223，与yx?x?6与x轴交于点A，B（点A在点B的左边）

63轴交于点C．点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE?EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标．（为突出问题，删去了两个小问）

【分析】根据抛物线解析式得A??32,0?、B?2,0?、C?0,6?，直线AC的解析式

3x?6，可知AC与x轴夹角为30°． 3EC根据题意考虑，P在何处时，PE+取到最大值．过点E作EH⊥y轴交y轴于H212为：y?点，则∠CEH=30°，故CH=

EC，问题转化为PE+CH何时取到最小值． 2

考虑到PE于CH并无公共端点，故用代数法计算，设P??m,????6223，m?m?6??63?则E??m,?????62333，，PE??m?3m，CH??m，m?6?H0,m?6?????633??3?62436PE?CH??m?m=?m?22636??2?465 sin?ABE?35当P点坐标为??22,6?时，取到最小值，故确定P、C、求四边形面积最小值，运用将军饮马模型解题即可．