?t?0?Asin???0
d?dt于是得初位相???A?cos??0
t?0?2，振幅A??0，因此，所求的特解为
????0sin(?t?)??0cos?t
2（2）有阻尼自由振动
从通解（4.41）可以看出，无阻尼的自由振动是按正弦规律作周期运动，摆动似乎可以无限期的进行下去。但是，实际情况并不是如此，摆总是经过一段时间的摆动后就会停下来，这说明我们所得的方程并没有完全反映物体运动的规律。因为空气阻力在实际上总是难免的，因此必须把运动阻力这一因素考虑进去，从而得到第一章已推导过的有阻尼的自由振动方程。
d2??d?g????0 2dtmdtl记
?m?2n，
g??2，这里n，?是正常数，方程可以写成 ld2?d??2n??2??0 （4.43） 2dtdt它的特征方程为 ?2?2n???2?0 （4.44）
22特征根为 ?1,2??n?n?? 对于不同的阻尼值n，微分方程有不同形式的解，它表示不同的运动形式，现分下面三种情形进行讨论：
（ⅰ）小阻尼的情形：即n??的情形，这时，?1,?2为一对共轭复根，记
?1??2?n2，则
?1,2??n??1i
而方程（4.43）的通解为
??e?nt?c1cos?1t?c2sin?1t?
和前面无阻尼的情形一样，可以把上述通解改写成如下形式：
??Ae?ntsin(?1t??) （4.45）
这里A，?为任意常数。
从（4.45）可见，摆的运动已不是周期的，振动的最大偏离随着时间增加而不断减小，而摆从一个最大偏离到达同侧下一个最大偏离所需时间为T?2??1，图（4.2）
表示函数（4.45）的图形，图上，虚线是??Ae?nt的图形。而实线表示摆运动的偏离随时间变化的规律，它夹在两条虚线中间振动。因为阻尼的存在，摆的最大偏离随时间增大而不断减小，最后摆趋于平衡位置??0。
图（4.2）
（ⅱ）大阻尼的情形：即n??的情形，这时?2??1?0，特征方程（4.44）有两个不同的负实根，方程（4.43）的通解为
??c1e?t?c2e?t （4.46）
12这里c1,c2是任意常数。
从（4.46）可以看出，摆的运动也不是周期的，因为方程
0?c1e?1t?c2e?2t
对于t最多只有一个解，因此，摆最多只通过平衡位置一次，又因为
d??c1?1e?1t?c2?2e?2t dt故从
d?(?2??1)t??e?1t?c??c?e1122?? dtd?的符号与c1的符号相反。因此，经过一段时间后，摆就单调dt得知，当t足够大时，
地趋于平衡位置，因而在大阻尼的情形，运动不是周期的，且不再具有振动的性质。摆的运动规律（4.46）的图形如图（4.3）所示。
图（4.3）
（ⅲ）临界阻尼的情形：即n??的情形，这时特征方程（4.44）有重根?1??2??n，方程（4.43）的通解为
??e?nt(c1?c2t) （4.47）
这里c1,c2是任意常数。
从（4.47）可以看出，摆的运动也不是周期的，它的运动规律（4.47）的图形他图（4.3）相类似。摆也不是具有振动的性质。数值n??称为阻尼的临界值，这一数值正好足够抑制振动。这里临界值的意思是指：摆处于振动状态或不振动状态的阻尼分界值，即当n??时，摆不具有振动性质，运动规律如图（4.3）所示。而当n??时，摆具有振动性质，运动规律如图（4.2）所示。 （3）无阻尼强迫振动
数学摆的微小强迫振动方程可写为
d2??d?g1????F(t) dt2mdtlml考察无阻尼强迫振动，即??0的情形。令知常数，p为外力圆频率。这时方程变为
gF(t)??2，设?Hsinpt，H为已lmld2?2????Hsinpt （4.48） 2dt方程（4.48）的对应齐线性方程的通解为
??Asin(?t??) （4.41）
这里A，?是任意常数。现求（4.48）的一个特解。如果??p，则（4.48）有形如
??Mcospt?Nsinpt （4.49） ?的解，这里M，N是待定常数。将(4.49)代入（4.48），比较同类项系数，得到
M?0，N?因此，方程（4.48）的通解为
H
?2?p2??Asin(?t??)?Hsinpt （4.50）
?2?p2这个通解（4.50）由两部分组成，第一部分是无阻尼自由振动的解Asin(?t??)，它代表固有振动，第二部分是振动频率与外力频率相同，而振幅不同的项
Hsinpt，
?2?p2它代表由外力引起的强迫振动。从（4.50）还可以看出，如果外力的圆频率p愈接近固有圆频率?，则强迫振动项的振幅就愈大。
如果p??，则（4.48）有形如
??t(Mcos?t?Nsin?t) ?的解，将它代入（4.48），比较同类项系数得到
M??H，N?0 2?因而，方程（4.48）的通解为
??Asin(?t??)?Htcos?t （4.51） 2? （4.51）表示随着时间的增大，摆的偏离将无限增加，这种现象称为共振现象。但是，实际上，随着摆的偏离的增加，到了一定程度，方程（4.48）就不能描述摆的运动状态了。
（4）有阻尼强迫振动 这时摆的运动方程为
d2?d?2?2n????Hsinpt （4.52） 2dtdt根据实际的需要，我们只讨论小阻尼的情形，即n??的情形。这时（4.52）的对应齐线性方程的通解为
??Ae?ntsin(?1t??) （4.45）
这里A，?是任意常数，?1??2?n2（见（2）有阻尼自由振动中的情形（ⅰ））。
现求（4.52）的一个特解，这时可以寻求形如
??Mcospt?Nsinpt （4.53） ?的特解，这里M，N是待定常数。将（4.53）代进（4.52），比较同类项系数，得到
(?2?p2)H?2npHM?2 N?2
(??p2)2?4n2p2(??p2)2?4n2p2