这就是所求的解。事实上，方程是一阶线性的，容易求得它的通解y?cex?x?1，而由条件y(0)?0确定常数c??1，即得方程的解为y?1?x?ex。 例6 求解方程xdy?y?x，y(1)?0。 dx解 同上例一样，以（4.71）形式上代入2方程并比较x的同次幂的系数，这时将有
a0?0，a1?a1?1，nan?an，n?2
因为不可能找到有限的a1，故方程没有形如（4.71）的解，事实上，直接解方程，可得通解为
y?cx?xlnx
但若令x?t?1，那么就将上述初值问题化为
(t?1)dy?y?(t?1)，y(0)?0 dx这时仿例5的做法就可求得
tny?(1?t)?(?1)??(1?t)ln(1?t)，t?1
nn?1?n于是
(x?1)ny?x?(?1)??xlnx，x?0
nn?1?n这就是所求原方程的特解，相当于通解中取c?0。 例7 求初值问题x2dy?y?x，y(0)?0的解。 dx解 同前面一样，以级数（4.71）形式上代入方程并比较x的同次幂的系数，计及条件
y(0)?0，我们有a0?0，a1?1?0，a2?a1,?,an?1?nan,?,，或a0?0，a1?1，
a2?1，…an?(n?1)!，…将这些确定的值代入2（4.710就得到：
y?x?x2?2!x3?3!x4???n!xn?1??
此级数对任何x?0都是发散的，故所给问题没有形如（4.71）的级数解。 例8 求方程y???2xy??4y?0的满足初始条件y(0)?0及y?(0)?1的解。 解 设级数（4.71）为方程的解。首先，利用初始条件，可以得到
a0?0，a1?1
因而
y?x?a2x2?a3x3???anxn?? y??1?2a2x?3a3x2???nanxn?1??y???2a2?3?2a3x???n(n?1)anxn?2??
将y，y?，y??的表达式代入原方程，合并x的各次同次幂的项，并令各项系数等于零，得到：
2a0?03?2a3?2?4?04?3a4?4a2?4a2?0?????n(n?1)an?2(n?2)an?2?4an?2?0?????即
a0?0，a3?1，a4?0，…，an?因而
2an?2，… n?1a5?也即
1111，a6?0，a7??，a8?0，a9?，… 2!63!4!a2k?1?111??，a2k?0 k(k?1)!k!对一切正整数k成立。
将ai(i?0,1,2,?,?)的值代回（4.71）就得到
?x2x4?x5x2k?1x2kx2y?x?x???????x?1?????????xe
2!k!2!4!k!??3这就是方程的满足所给初始条件的解。
考虑二阶齐线性方程
d2ydy?p(x)?q(x)y?0 （4.72） dx2dx?的情况。 及初始条件y(x0)?y0及y?(x0)?y0不失一般性，可设x0?0，否则，我们引进新变量t?x?x0，经此变换，方程的形状不变，但这时对应于x?x0的就是t0?0了。因此，今后我们总认为x0?0。 定理10 若方程（4.72）中系数p(x)和q(x)都能展开成x的幂级数，且收敛区间为
x?R，则方程（4.72）有形如
y??axnn?0?n （4.73）
的特解，也以x?R为级数的收敛区间。
在例8中方程显然满足定理的条件，系数?2x和-4可看作是在全数轴收敛的幂级数，故方程的解也在全树轴上收敛，这与例8的实际计算结果完全一样，但有些方程，例如n阶贝塞尔方程
d2ydyx?x?(x2?n2)y?0 2dxdx2n21这里n为非负常数，不一定是正整数。在此p(x)?，q(x)?1?2。显然它不满足
xx定理10的条件，因而不能肯定有形如（4.73）的特解。但它满足下述定理11的条件，从而具有别种形状的幂级数解。
定理11 若方程（4.72）中系数p(x)，q(x)具有这样的性质，即xp(x)和x2q(x)均能展成x的幂级数，且收敛区间为x?R，则方程（4.72）有形如
y?x即
??axnn?0?n
y??anx??n （4.75）
n?0?的特解，这里a0?0，?是一个待定的常数。级数（4.75）也以x?R为收敛区间。 例9 求解n阶贝塞尔方程（4.74）。 解 将方程改写成
d2y1dy(x2?n2)??y?0 （4.74） dx2xdxx2易见，它满足定理11的条件，且xp(x)?1，x2q(x)?x2?n2，按x展成的幂级数收敛区间为???x???，由定理11，方程有形如
y??akx??k （4.75）
k?0?的解，这里a0?0，而ak和?是待定常数。将（4.75）代入（4.74）中，得
x2?(??k)(??k?1)axkk?1???k?2?x?(??k)akxk?1???k?1?(x?n)?akx??k?0
22k?1?把x同幂次项归在一起，上式变为
???(??k)(??k?1)?(??k)?nk?0?2??akx??k??akx??k?2?0令各项的系数等
k?0?于零，得一系列的代数方程：
?a0??2?n2??0???22??(??1)?n?a1????0 （4.76） ?22?ak??(??k)?n???ak?2?0???k?2,3,?因为a0?0，故从（4.76）的第一个方程解得?的两个值
??n和???n
先考虑??n时方程（4.74）的一个特解，这时我们总可以从（4.76）中逐个地确定所有的系数ak。把??n代入（4.76），得到
a1?0
ak??ak?2，k?2,3,?
k(2n?k)或按下标为奇数或偶数，我们分别有
?a2k?1?a??2k?1(2k?1)(2n?2k?1)?,k?1,2,? ??a??a2k?22k?2k(2n?2k)?从而求得