当x变化时，f?(x)，f(x)的变化如下表：

(?∞， (t2?3， (t2?3， +∞) 0 极小值 + ↗ x t2?3) f?(x) + ↗ t2?3 t2?3) 0 极大值 3t2?3 ? ↘ f(x) 所以函数f(x)的极大值为f(t2?3)?(?3)?9?(?3)?63；函数小值为

f(t2?3)?(3)3?9?3??63．

(3)曲线y?f(x)与直线y??(x?t2)?63有三个互异的公共点等价于关于x的方程

(x?t2?d)(x?t2)(x?t2?d)?(x?t2)?63?0有三个互异的实数解，

32令u?x?t2，可得u?(1?d)u?63?0．

32设函数g(x)?x?(1?d)x?63，则曲线y?f(x)与直线y??(x?t2)?63有三个互异的公共点等价于函数y?g(x)有三个零点．g'(x)?3x?(1?d)． 当d2≤1时，g'(x)≥0，这时g'(x)在R上单调递增，不合题意．

32d2?1d2?1当d?1时，g'(x)=0，解得x1??，x2?．

332易得，g(x)在(??,x1)上单调递增，在[x1,x2]上单调递减，在(x2,??)上单调递增，

g(x)的极大值g(x1)?g(?d?123(d?1)?63>0． )=

9323(d?1)d?1?63． )=?9322322232g(x)的极小值g(x2)?g(若g(x2)≥0，由g(x)的单调性可知函数y?f(x)至多有两个零点，不合题意． 若g(x2)?0,即(d?1)?27，

也就是|d|?10，此时|d|?x2，g(|d|)?|d|?63?0,

且?2|d|?x1,g(?2|d|)??6|d|?2|d|?63??6210?63?0，从而由g(x)的单调性，可知函

3232

数y?g(x)在区间(?2|d|,x1),(x1,x2),(x2,|d|)内各有一个零点，符合题意． 所以d的取值范围是(??,?10)U(10,??).

?x26．已知函数f(x)?(x?2x?1)e(x≥)．

12（Ⅰ）求f(x)的导函数；

（Ⅱ）求f(x)在区间[,??)上的取值范围． 【解析】（Ⅰ）因为(x?2x?1)??1?121?x?x，(e)???e 2x?11(1?x)(2x?1?2)e?x1?x?x)e?(x?2x?1)e?所以f?(x)?(1?(x?)

22x?12x?1(1?x)(2x?1?2)e?x5（Ⅱ）由f?(x)??0解得x?1或x?．

22x?1因为

x f?(x) 1 2（1，1） 21 0 0 （1，+ 55） 22（5，??） 2 - ↘ 0 - ↘ f(x) ↗ 1?1112?x又f(x)?(2x?1?1)e≥0，所以f(x)在区间[,??)上的取值范围是[0,e2]．

2223227．已知函数f(x)?x?ax?bx?1(a?0,b?R)有极值，且导函数f?(x) 的极值点是f(x)的零点．（极

值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2?3a；

a2a2【解析】(1)由f(x)?x?ax?bx?1,得f?(x)?3x?2ax?b?3(x?)?b?.

33322a2a当x??时，f?(x)有极小值b?.因为f?(x)的极值点是f(x)的零点.

33

aa3a3ab2a23???1?0，又a?0，故b??. 所以f(?)??327939aa21?(27?a3)?0，即a?3. 因为f(x)有极值，故f?(x)=0有实根，从而b?39aa?3时，f?(x)>0(x??1)，故f(x)在R上是增函数，f(x)没有极值；

?a?a2?3b?a?a2?3b，x2=. a?3时，f?(x)=0有两个相异的实根x1=33列表如下

x f?(x) f(x) (??,x1) + x1 0 极大值 (x1,x2) – x2 0 极小值 (x2,??) + Z ] Z 2a23?，定义域为(3,??). 故f(x)的极值点是x1,x2.从而a?3，因此b?9a（2）由（1）知，b2aa3． ??9aaa222t2?272t3设g(t)?． ?，则g?(t)??2?3t9t29t当t?(3636,??)上单调递增． ,??)时，g?(t)?0，所以g(t)在(22因为a?3，所以aa?33，故g(aa)?g(33)?3，即b?3．因此b2?3a． a4a2?6b222（3）由（1）知,f(x)的极值点是x1,x2，且x1?x2??a，x1?x2?.

933232从而f(x1)?f(x2)?x1?ax1?bx1?1?x2?ax2?bx2?1

?x1x1222(3x12?2ax1?b)?2(3x2?2ax2?b)?a(x12?x2)?b(x1?x2)?2 33334a3?6ab4ab???2?0

279记f(x)，f?(x)所有极值之和为h(a)，

a21313??a2?，所以h(a)=?a2?，a?3. 因为f?(x)的极值为b?39a9a23a?2?0，于是h(a)在(3,??)上单调递减. 9a7因为h(6)=?，于是h(a)≥h(6)，故a≤6.因此a的取值范围为(3，6].

21128．已知函数f?x??x3?ax2,a?R．

32因为h?(a)=?(Ⅰ)当a?2时，求曲线y?f?x?在点3,f?3?处的切线方程；

(Ⅱ)设函数g?x??f?x???x?a?cosx?sinx，讨论g?x?的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

【解析】（Ⅰ）由题意f?(x)?x?ax，所以，当a?2时，f(3)?0，f?(x)?x?2x，

所以f?(3)?3，因此，曲线y?f(x)在点(3,f(3))处的切线方程是y?3(x?3)， 即3x?y?9?0．

（Ⅱ）因为g(x)?f(x)?(x?a)cosx?sinx所以g?(x)?f?(x)?cosx?(x?a)sinx?cosx，

22???x(x?a)?(x?a)sinx?(x?a)(x?sinx)，

令h(x)?x?sinx，则h?(x)?1?cosx?0，所以h(x)在R上单调递增， 因此h(0)?0，所以，当x?0时，h(x)?0；当x?0时h(x)?0．

（1） 当a?0时，g?(x)?(x?a)(x?sinx)，当x?(??,a)时，x?a?0，g?(x)?0，g(x)单调递增；当x?(a,0)时，x?a?0，g?(x)?0，g(x)单调递减；当x?(0,??)时，x?a?0，g?(x)?0，

1g(x)单调递增．所以，当x?a时，g(x)取到极大值，极大值是g(a)??a3?sina，当x?0时，g(x)6取到极小值，极小值是g(0)??a．

（2） 当a?0时，g?(x)?x(x?sinx)，当x?(??,??)时，g?(x)≥0，g(x)单调递增；

所以，g(x)在(??,??)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值． （3） 当a?0时，g?(x)?(x?a)(x?sinx)，

当x?(??,0)时，x?a?0，g?(x)?0，g(x)单调递增；