当x?(??,3?23)U(3?23,??)时，f?(x)?0；当x?(3?23,3?23)时，f?(x)?0． 故f(x)在(??,3?23)，(3?23,??)单调递增，在(3?23,3?23)单调递减．

x3?3a?0． (2)由于x?x?1?0，所以f(x)?0等价于2x?x?12x2(x2?2x?3)x3≥0， ?3a，则g?(x)?设g(x)?222(x?x?1)x?x?1仅当x?0时g?(x)?0，所以g(x)在(??,??)单调递增． 故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点． 又f(3a?1)??6a2?2a?1111??6(a?)2??0，f(3a?1)??0， 3663故f(x)有一个零点．综上，f(x)只有一个零点． 22．（2018北京）设函数f(x)?[ax?(3a?1)x?3a?2]e．

(1)若曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，求a； (2)若f(x)在x?1处取得极小值，求a的取值范围．

【解析】(1)因为f(x)?[ax?(3a?1)x?3a?2]e，所以f?(x)?[ax?(a?1)x?1]e．

2x2x2xf?(2)?(2a?1)e2，由题设知f?(2)?0，即(2a?1)e2?0，解得a?(2)方法一：由(1)得f?(x)?[ax?(a?1)x?1]e?(ax?1)(x?1)e．

2xx1． 2若a?1，则当x?(,1)时，f?(x)?0；当x?(1,??)时，f?(x)?0．

所以f(x)在x?1处取得极小值．若a≤1，则当x?(0,1)时，ax?1≤x?1?0， 所以f?(x)?0．所以1不是f(x)的极小值点．综上可知，a的取值范围是(1,??)． 方法二：f?(x)?(ax?1)(x?1)e．(ⅰ)当a?0时，令f?(x)?0得x?1．

x1af?(x),f(x)随x的变化情况如下表：

x f?(x) (??,1) + 1 0 (1,??) ?

f(x) ↗ 极大值 ↘ ∴f(x)在x?1处取得极大值，不合题意．(ⅱ)当a?0时，令f?(x)?0得x1?①当x1?x2，即a?1时，f?(x)?(x?1)e≥0，∴f(x)在R上单调递增，

2x1,x2?1． a∴f(x)无极值，不合题意．②当x1?x2，即0?a?1时，f?(x),f(x)随x的变化情况如下表：

x f?(x) f(x) (??,1) + ↗ 1 0 极大值 1(1,) a? ↘ 1 a0 极小值 1(,??) a+ ↗ ∴f(x)在x?1处取得极大值，不合题意．

③当x1?x2，即a?1时，f?(x),f(x)随x的变化情况如下表：

x f?(x) 1(??,) a+ ↗ 1 a0 极大值 1(,1) a? ↘ 1 0 极小值 (1,??) + ↗ f(x) ∴f(x)在x?1处取得极小值，即a?1满足题意． (ⅲ)当a?0时，令f?(x)?0得x1?x f?(x) f(x) 1,x2?1．f?(x),f(x)随x的变化情况如下表： a1111 (1,??) (??,) (,1) aaa? ↘ 0 极小值 + ↗ 0 极大值 ? ↘ ∴f(x)在x?1处取得极大值，不合题意．综上所述，a的取值范围为(1,??)．

ax2?x?123．（2018全国卷Ⅲ）已知函数f(x)?．

ex(1)求曲线y?f(x)在点(0,?1)处的切线方程； (2)证明：当a≥1时，f(x)?e≥0．

?ax2?(2a?1)x?2【解析】(1)f?(x)?，f?(0)?2． xe因此曲线y?f(x)在点(0,?1)处的切线方程是2x?y?1?0． (2)当a≥1时，f(x)?e≥(x?x?1?e令g(x)≥x?x?1?e2x?12x?1)e?x．

x?1，则g?(x)≥2x?1?e．

当x??1时，g?(x)?0，g(x)单调递减；当x??1时，g?(x)?0，g(x)单调递增； 所以g(x)≥g(?1)=0．因此f(x)?e≥0．

24．（2018江苏）记f?(x),g?(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数．若存在x0?R，满足f(x0)?g(x0)且

f?(x0)?g?(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”．

(1)证明：函数f(x)?x与g(x)?x?2x?2不存在“S点”； (2)若函数f(x)?ax?1与g(x)?lnx存在“S点”，求实数a的值；

22bex(3)已知函数f(x)??x?a，g(x)?．对任意a?0，判断是否存在b?0，使函数f(x)与g(x)x2在区间(0,??)内存在“S点”，并说明理由．

2【解析】(1)函数f(x)?x，g(x)?x?2x?2，则f?(x)?1，g?(x)?2x?2．

?x?x2?2x?2由f(x)?g(x)且f?(x)?g?(x)，得?，此方程组无解，

?1?2x?2因此，f(x)与g(x)不存在“S点”．

(2)函数f(x)?ax?1，g(x)?lnx，则f?(x)?2ax，g?(x)?21． x设x0为f(x)与g(x)的“S点”，由f(x0)?g(x0)且f?(x0)?g?(x0)，得

2?ax0?1?lnx02???ax0?1?lnx0，即?，（*） 1?22ax???0x?2ax0?10??1得lnx0??，即x0?e2，则a?2112(e)?122?e． 2

?ee2x?e当a?时，0满足方程组（*），即x0为f(x)与g(x)的“S点”．因此，a的值为．

221(3)对任意a?0，设h(x)?x3?3x2?ax?a．

因为h(0)?a?0，h(1)?1?3?a?a??2?0，且h(x)的图象是不间断的，

32x0所以存在x0?(0,1)，使得h(x0)?0．令b?x0，则b?0．

e(1?x0)bexbex(x?1)(x)??2x，g′(x)?函数f(x)??x?a，g(x)?，则f′． 2xx2由f(x)?g(x)且f?(x)?g?(x)，得

3?22x0ex?2bex??x?a???x?a?x0?e(1?x)x??x0，即?，（**） ?x3x2x0e(x?1)??2x?be(x?1)??2x????x2?ex0(1?x0)x2?此时，x0满足方程组（**），即x0是函数f(x)与g(x)在区间(0,1)内的一个“S点”． 因此，对任意a?0，存在b?0，使函数f(x)与g(x)在区间(0,??)内存在“S点”．

25．（2018天津）设函数f(x)=(x?t1)(x?t2)(x?t3)，其中t1,t2,t3?R，且t1,t2,t3是公差为d的等差数列．

(1)若t2?0,d?1, 求曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程； (2)若d?3，求f(x)的极值；

(3)若曲线y?f(x)与直线y??(x?t2)?63有三个互异的公共点，求d的取值范围．

3【解析】(1)由已知，可得f(x)?x(x?1)(x?1)?x?x，故f?(x)?3x?1，因此f(0)?0，f?(0)=?1，

又因为曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y?f(0)?f?(0)(x?0)， 故所求切线方程为x?y?0．

3(2)由已知可得f(x)?(x?t2?3)(x?t2)(x?t2?3)?(x?t2)?9(x?t2) 32?x3?3t2x2?(3t2?9)x?t2?9t2．

32故f?(x)?3x?6t2x?3t2?9．令f?(x)=0，解得x?t2?3，或x?t2?3．