2020届高考文科数学二轮复习专项训练

专题04 导 数

一、选择题

1．已知函数f(x)?lnx?ln(2?x)，则

A．f(x)在(0,2)单调递增 B．f(x)在(0,2)单调递减

C．y?f(x)的图像关于直线x?1对称 D．y?f(x)的图像关于点(1,0)对称 C【解析】由f?(x)?2(1?x)，0?x?2知，f(x)在(0,1)上单调递增，(1,2)上单调递减，排除A、B；

x(2?x)又f(2?x)?ln(2?x)?lnx?f(x)，所以f(x)的图象关于x?1对称，C正确． 2．函数y?f(x)的导函数y?f?(x)的图像如图所示，则函数y?f(x)的图像可能是

yOx

yxyxyxyxOOOOA． B．CD

D【解析】由导函数的图象可知，y?f(x)的单调性是减?增?减?增，排除 A、C；由导函数的图象可知，y?f(x)的极值点一负两正，所以D符合，选D．

3．若函数f(x)?x?sin2x?asinx在(??,??)单调递增，则a的取值范围是

A．[?1,1] B．[?1,] C．[?,] D．[?1,?] C【解析】函数f(x)?x?sin2x?asinx在(??,??)单调递增，

131311331313245cos2x?acosx??cos2x?acosx?…0 33345在(??,??)恒成立．设cosx?t，则g(t)??t2?at?…0在[?1,1]恒成立，

33等价于f?(x)?1?

45?g(1)???a?…0?1?33所以?，解得?剟a3?g(?1)??4?a?5…0?33?1．故选C． 334．已知a为函数f(x)?x?12x的极小值点，则a?

A．?4 B．?2 C．4 D．2

D【解析】因为f?(x)?3x?12?3(x?2)(x?2)，令f?(x)?0，x??2，当

2x?(??,?2)时f?(x)?0，f(x)单调递增；当x?(?2,2)时f?(x)?0，f(x)单调递减；当x?(?2,??)时f?(x)?0，f(x)单调递增．所以a?2．故选D．

5．(2018全国卷Ⅰ)设函数f(x)?x3?(a?1)x2?ax．若f(x)为奇函数，则曲线y?f(x)在点(0,0)处的切线方程为

A．y??2x B．y??x

3 C．y?2x

2 D．y?x

D【解析】通解 因为函数f(x)?x?(a?1)x?ax为奇函数，所以f(?x)??f(x)，

2所以(?x)?(a?1)(?x)?a(?x)??[x?(a?1)x?ax]，所以2(a?1)x?0，

3232因为x?R，所以a?1，所以f(x)?x?x，所以f?(x)?3x?1，所以f?(0)?1，所以曲线y?f(x)在点(0,0) 处的切线方程为y?x．故选D．

优解一 因为函数f(x)?x?(a?1)x?ax为奇函数，所以f(?1)?f(1)?0，所以

3232?1?a?1?a?(1?a?1?a)?0，解得a?1，所以f(x)?x3?x，

2所以f?(x)?3x?1，所以f?(0)?1，所以曲线y?f(x)在点(0,0)处的切线方程为y?x．故选D．

322优解二 易知f(x)?x?(a?1)x?ax?x[x?(a?1)x?a]，因为f(x)为奇函数，所以函数

32g(x)?x2?(a?1)x?a为偶函数，所以a?1?0，解得a?1，所以f(x)?x?x，所以f?(x)?3x?1，

所以f?(0)?1，所以曲线y?f(x)在点(0,0)处的切线方程为y?x．故选D．

6．若函数ef(x)(e=2．71828L，是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是

x

A．f(x)?2?x

B．f(x)?x2

C．f(x)?3?x

D．f(x)?cosx

A【解析】对于选项A，f(x)?2?x?()x， 则exf(x)?ex?()x?()x，∵

?x1212e2e?1，∴exf(x))在R上2xx22[ef(x)]??e(x?2x)，exf(x)?exx2，单调递增，∴f(x)?2具有M性质．对于选项B，f(x)?x，

令e(x?2x)?0，得x?0或x??2；令e(x?2x)?0，得?2?x?0，∴函数ef(x)在(??,?2)和(0,??)上单调递增，在(?2,0)上单调递减，∴f(x)?x不具有M性质．对于选项C，

2x2x2x11eee?x则exf(x)?ex?()x?()x，∵?1，∴y?()x在R上单调递减，∴f(x)?3f(x)?3?x?()x，33333不具有M性质．对于选项D，f(x)?cosx，ef(x)?ecosx，

则[ecosx]??e(cosx?sinx)≥0在R上不恒成立，故ef(x)?ecosx在R上不是单调递增的，所以f(x)?cosx不具有M性质．

7．若函数y?f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y?f(x)具有T

性质.下列函数中具有T性质的是 A．y?sinx

B．y?lnx

C．y?ex

D．y?x3

xxxxxxcosx1cosx2??1，(x2,y2)，A【解析】设两个切点分别为(x1,y1)，选项A中，y??cosx，当x1?0,x2??时满足，故A正确；函数y?lnx,y?e,y?x的导数值均非负，不符合题意，故选A. 8．设直线l1，l2分别是函数f(x)??x3??lnx,0?x?1，图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，

lnx,x?1?且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是 A．(0,1) B．(0,2) C． (0,+∞) D．(1,+ ∞)

A【解析】设P（不妨设x1?1,0?x2?1），则由导数的几何意义易得切线l1,l21?x1,lnx1?,P2?x2,?lnx2?的斜率分别为k1?111,k2??.由已知得k1k2??1,?x1x2?1,?x2?.?切线l1的方程分别为x1x2x1y?lnx1??1?11ly?lnx??xx?x?xy?lnx??x?x，切线的方程为，即??2?． 1?22?11?x1x2x1??2x11?x12分别令x?0得A?0,?1?lnx1?,B?0,1?lnx1?.又l1与l2的交点为P(,lnx1?)．∵

1?x11?x12

x1?1，∴S?PAB2x11?x121?|yA?yB|?|xP|???1，∴0?S?PAB?1，故选A． 2221?x11?x1ex?2?f?x???t?lnx?x??xx?恰有一个极值点为1，则实数t的取值范围是（ ） ?9．已知函数

1??e?1?1?1??e???????,???,??,?????,??????????33322??? B．?? C．???3? ? D．?A．?【答案】C【解析】 由题意知函数

f?x?的定义域为(0,??)，

?ex?x?1x?2?t????x??x?1?ex?1?e?x?2t?2??x?1????x?2?????f'?x???t??1?2??222xx??xxx

因为

f?x?x恰有一个极值点为1，所以

xf'?x??0有且只有一个解，即x?1是它的唯一解，也就是说另一个

x?1?ex?eeg'?x??2?t?0g?x???x?0?x?2??x?2方程x?2无解.令，则

?0，所以函数

g?x?在(0,??)上单

ex?2?ex11fx??tlnx?x????t?0g?x??g?0??t???xx??恰有一个x?222增，从而，所以，当时，无解，1????，??2??t极值点，所以实数的取值范围是．故选：C．

?lnx,x?1?f(x)??1x?1,x?1?n?m?210．已知函数，若f(m)?f(n)，则的取值范围是（ ）

A．

?e,3?

B．

?4?2ln2,3?3??24?2ln2,e－1???? D．2?2ln2,3 C．

??C【解析】不妨设f(m)?f(n)?t，设m?n，由题意可知， 函数y?f(x)的图象与直线y?t有两个交点，其中0?t?31，由f(m)?t，即m?1?t，解得m?2t?2，

22t由f(n)?t，即lnn?t，解得n?et，记g(t)?n?m?n?m?e?2t?2，

其中0?t?当ln2?t?3，g?(t)?et2?2，∴当0?t?ln2时，g?(t)?0，函数g(t)单调递减；

3时，g?(t)?0，函数g(t)单调递增.所以函数g(t)的最小值为2