第一种情况：当MRS12>P1/P2时，即a> P1/P2时，如图，效用最大的均衡点E的位置发生在横轴，它表示此时的最优解是一个边角解，即 X1=M/P1，X2=0。也就是说，消费者将全部的收入都购买商品1，并由此达到最大的效用水平，该效用水平在图中以实线表示的无

差异曲线标出。显然，该效用水平高于在既定的预算线上其他任何一个商品组合所能达到的效用水平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。

第二种情况：当MRS12

达到最大的效用水平，该效用水平在图中以实线表示的无差异曲线标出。显然，该效用水平高于在既定的预算线上其他任何一个商品组合所能达到的效用水平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。

第三种情况：当MRS12=P1/P2时，a= P1/P2时，如图，无差异曲线与预算

线重叠，效用最大化达到均衡点可以是预算线上的任何一点的商品组合，即最优解为X1≥0，X2≥0，且满足P1X1+P2X2=M。此时所达到的最大效用水平在图中以实线表示的无差异曲线标出。显然，该效用水平高于在既定的预算线上其他任何一条无差异曲线所能达到的效用水平，例如那些用虚线表示的无差异曲线的效用水平。

8、假定某消费者的效用函数为U?q0.5?3M，其中，q为某商品的消费量，M为收入。求：

（1）该消费者的需求函数； （2）该消费者的反需求函数；

1（3）当p?，q=4时的消费者剩余。

12解：（1）由题意可得，商品的边际效用为：

MU??U1?0.5?q?Q2货币的边际效用为:

???U?3?M 于是，根据消费者均衡条件MU/P =?，有：

1?0.5q?3p 2整理得需求函数为q=1/36p2

（2）由需求函数q=1/36p2，可得反需求函数为：

p?1?0.5q 616（3）由反需求函数p?q?0.5，可得消费者剩余为：

CS??4011?0.51q?dq??4?61234q011?? 33以p=1/12,q=4代入上式，则有消费者剩余： Cs=1/3

9设某消费者的效用函数为柯布-道格拉斯类型的，即

U?x?y?，商品

x和商品y的价格格分别为px和py，消费者

的收入为M，?和?为常数,且????1

（1）求该消费者关于商品x和品y的需求函数。

（2）证明当商品x和 y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例时，消费者对两种商品的需求关系维持不变。

（3）证明消费者效用函数中的参数?和?分别为商品x和商品y的消费支出占消费者收入的份额。

解答：（1）由消费者的效用函数U?x?y?，算得：

?U??x??1y??Q

?UMUy???x?y??1?yMUx?消费者的预算约束方程为

px?py?M （1）

根据消费者效用最大化的均衡条件

?MUXpx??py （2） ?MUYpxx?pyy?Mpx?x??1y???x?y??1py得pxx?pyy?M （3） 解方程组（3），可得

x??M/px （4） y??M/py （5）

式（4）即为消费者关于商品x和商品y的需求函数。 上述休需求函数的图形如图

（2）商品x和商品y的价格以及消费者的收入同时变动一个比例，相当于消费者的预算线变为

?pxx??pyy??M （6）

其中?为一个非零常数。

此时消费者效用最大化的均衡条件变为

px?x??1y???x?y??1py?pxx??pyy??M （7）

由于??0，故方程组（7）化为

px?x??1y???x?y??1pypxx?pyy?M （8）

显然，方程组（8）就是方程组（3），故其解就是式（4）和式（5）。

这表明，消费者在这种情况下对两商品的需求关系维持不变。