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文章发布时间 : 2025/4/19 0:20:19星期六

二次函数学案（2）

教学目标：

1、二次函数图像的做法。 2、y=x2 的图像及性质 3、y=﹣x2 与y=x2 的异同 4、总结y=ax2 的性质学习过程

1、自学引路

① 做函数图象的步骤、、。

② 研究二次函数一般从开口方向、形状、大小、对称性、顶点坐标、最大值、最小值、

增减性进行研究。

③ Y轴上所有点的横坐标为0，所以y轴可以表示成x=0 2、学生自学

一、结合课本第41页做y=x2 与y=﹣x2 的图像二、观察图像完成下列问题 1、 y=x2 形状： a 0,开口向对称轴x= x 0，y随x的增大而 x 0，y随x的增大而顶点坐标有最值为 y=﹣x2 形状： a 0,开口向对称轴x= x 0，y随x的增大而 x 0，y随x的增大而顶点坐标有最值为 2、顶点定义：

3、二次函数的增减性从分开。

三、在同一直角坐标系中做出y=x2 、y=﹣x2 、y=2x2 、y=﹣2x2 的图像完成下表

y=ax2 形状： a 0,开口向对称轴x= x 0，y随x的增大而 x 0，y随x的增大而顶点坐标有最值为四、测验已知y=﹣5x的开口方向、对称轴是、顶点坐标、当x 0时y随x的增大而增大。有最值为。

五、反思

a 0,开口向对称轴x= x 0，y随x的增大而 x 0，y随x的增大而顶点坐标有最值为 ∣a∣越大开口越 ∣a∣相同，形状相同二次函数学案（3）

教学目标

1、能作出函数y?ax2和y?ax2?c的图象；并研究它们的性质.能比较y?ax2和

y?ax22?c的图象与y?x的异同.理解a与c对二次函数图象的影响.

2、经历探索二次函数y?ax2和y?ax2?c的图象的作法和性质的过程，获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验.通过y?ax2，y?ax2?c与y?x2的图象及性质比较，培养学生的比较、鉴别能力. 学习过程一、自学引路

（1）函数y=ax2 的图象是线，关于成轴对称图形，顶点坐标，a 0,开口向、x 0，y随x的增大而，x 0，y随x的增大而 . 有最值为。a 0,开口向、x 0，y随x的增大而，x 0，y随x的增大而 . 有最值为。（2）结合平移解决新函数的对称轴与顶点坐标。二、学生自学

（1）在同一直角坐标系中作出y=2x2 、y=2x2 +1 与y=2x2 ﹣1的图像（2）观察图像结合自学引路完成下表

y=2x2 形状： a 0,开口向对称轴x= 形状： a 0,开口向对称轴x= y=2x2 +1 形状： a 0,开口向对称轴x= y=2x2 ﹣1 x 0，y随x的增大而 x 0，y随x的增大而 x 0，y随x的增大而 x 0，y随x的增大而 x 0，y随x的增大而 x 0，y随x的增大而顶点坐标有最值为顶点坐标有最值为顶点坐标有最值为与y轴的交点与y轴的交点与y轴的交点（3）观察图像、列表，比较表格中顶点、对称轴的变化情况完成下列问题 y=2x2 +1是y=2x2 向平移个单位得到的，y=2x2 ﹣1是y=2x2 向平移个单位得到的

（4）一般地：y=ax2 +c的顶点坐标是、对称轴是、与y轴的交点，a 0,开口向、x 0，y随x的增大而，x 0，y随x的增大而 . 有最值为。a 0,开口向、x 0，y随x的增大而，x 0，y随x的增大而 . 有最值为。其图像是由y=ax2 的图像向（c＞0）或向 (c＜0)平移个单位得到的。三、测验课本习题2.3 1、2、3题四、反思

二、三节课后自测学案

1、当m= 时，抛物线y=（m＋1）x＋9开口向下，对称轴是．在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴右侧，y随x的增大而．顶点。 2、抛物线，y=4x2，y=－2x2的图象，开口最大的是（）

A．y=

14m2?mx

B．y=4x

C．y=－2x

D．无法确定

3．抛物线y=－4x2－4的开口向，当x= 时，y有最值，y= ． 4．当m= 时，y=（m－1）x

m2?m－3m是关于x的二次函数．

5．抛物线y=－3x2上两点A（x，－27），B（2，y），则x= ，y= ． 6．抛物线y=3x2与直线y=kx＋3的交点为（2，b），则k= ，b= ． 7、二次函数y=ax2与一次函数y=ax＋a在同一坐标系中的图象大致为（）

8、已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）．（1）求a、m的值；

（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；

（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积．

9、有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d表示为k的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．

10、如图，直线ι经过A（3，0），B（0，3）两点，且与二次函数 y=x2＋1的图象，在第一象限内相交于点C．求：（1）△AOC的面积；（2）二次函数图象顶点与点A、B组成的三角形的面积．

二次函数学案（4）

学习目标:

1．会用描点法画出二次函数2通过比较抛物线y=ax2 同

的图象；

的对称轴与顶点坐标的变化情况，确定

的对称轴与顶点坐标、最值、增减性，培养观察、分析、总结的能

力。

学习过程一、自学引路研究二、学生自学

1、在课本51页图2-6直角坐标系内画出，y=3(x﹣1)2 与y=3(x+1) 2 的图象。 2、结合图像、自学引路完成下表。

y=3x2 形状： a 0,开口向对称轴x= y=3（x+1）2 形状： a 0,开口向对称轴x= y=3（x﹣1）2 形状： a 0,开口向对称轴x= 的性质，比较 y=ax2 ，观察列表与图像中顶点、对称轴的变化进行分析。

横坐标为2的点可以表示成直线x=2

x ，y随x的增大而 x ，y随x的增大而 x ，y随x的增大而

x ，y随x的增大而 x ，y随x的增大而 x ，y随x的增大而顶点坐标有最值为顶点坐标有最值为顶点坐标有最值为 y=3（x+1）2 是由y=3x2 向平移个单位长度得到的 y=3（x﹣1）2 是由y=3x2 向平移个单位长度得到的总结：一般y=a(x-h) 2 可以看做y=ax2 向（h＞0）或向 (h＜0)平移个单位，顶点坐标、对称轴。a 0,开口向、x ，y随x的增大而，

x 0，y随x的增大而 . 有最值为。a 0,开口向、x ，y随x的增大而，x 0，y随x的增大而 . 有最值为。三、测验

y=3x2 y=﹣5(x﹣3) 2 y=2x2 +5 开口方向顶点坐标对称轴有最值为与y轴交点 2、y=x2 +2x+1的顶点对称轴是有y=x2 向平移个单位。

二次函数学案（5）

学习目标:

1．会用描点法画出二次函数2．知道抛物线学习过程一、自学引路研究二、学生自学

1、在课本51页图2-6直角坐标系内画出，y=3(x﹣1) ﹣2与y=3(x+1) 2 +2的图象。 2、结合图像完成下表 y=3（x+1）2 形状： a 0,开口向对称轴x= y=3（x+1）2 +2 形状： a 0,开口向对称轴x= y=3（x+1）2 ﹣2 形状： a 0,开口向对称轴x= +K的性质，观察列表与图像中顶点、对称轴的变化进行分析。

的图像；

的对称轴与顶点坐标；

x ，y随x的增大而 x ，y随x的增大而 x ，y随x的增大而 x ，y随x的增大而 x ，y随x的增大而 x ，y随x的增大而顶点坐标有最值为顶点坐标有最值为顶点坐标有最值为 y=3（x+1）2 +2是由y=3（x+1）2 向平移个单位长度得到的 y=3（x﹣1）2 -2是由y=3（x+1）2 向平移个单位长度得到的总结： a 0,开口向对称轴x= 顶点坐标当x= 时，y有最值 x ，y随x的增大而 x ，y随x的增大而 y=a(x-h) 2 +k a 0,开口向对称轴x= 顶点坐标当x= 时，y有最值 x ，y随x的增大而 x ，y随x的增大而 y=a(x-h) 2 +k是由y=a(x-h) 2 向（k＞0）或向 (k＜0)平移个单位， y=a(x-h) 2 +k是由y=ax2 +k向（h＞0）或向 (h＜0)平移个单位得到的三、测验

1、课本随堂练习、习题2.4 2、y=x2 +2x+5的顶点对称轴。 3、利用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的对称轴方程和顶点从标并总结出公式。

二次函数y?ax学习目标: 二次函数y?ax学生自学

22?bx?c中a、b、c 与图像的关系

?bx?c中a、b、c 与图像的关系

1、a＞0开口向 a＜0开口向。

2、求二次函数与y轴交点，令x= ，则y= 。所以与y轴交点为。由此可得c 0，图像交与y轴半轴；c 0，图像交与y轴半轴；

c 0，图像过原点。 b

3、在对称轴x= - 中

（1）当a＞0时，对称轴在yb＞0 ；对称轴在y

轴左侧，- 0，∴a、b同号，∵a＞0 ∴

轴右侧，- 2a 0，∴a、b异号，∵a＞0 ∴b＜0 ；

（2）当a＜0时，对称轴在y轴左侧，- 0，∴a、b同号，∵a＜0 ∴b＜0 ；

2ab

对称轴在y轴右侧，- 0，∴a、b异号，∵a＜0 ∴b＞0 ；

2ab

4、顶点在x轴上，顶点的横坐标为，及- = 。

2a顶点在y轴上，顶点的纵坐标为，及4ac-b2 ／4a= 。课后练习：

1、二次函数y=ax2＋bx2＋c的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0（填“＞”或“＜”＝．） 2、二次函数y=ax2＋bx＋c与一次函数y=ax＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（）

5、抛物线y=－2x＋6x－1的顶点坐标为，对称轴为．

6、如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2＋bx＋c的大致图象为（）

确定二次函数的表达式

学习目标:

经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识；会用待定系数法求二次函数的表达式；学习过程

一、自学引路：怎样确定抛物线解析式

确定抛物线解析式，是初中数学一类非常重要典型的问题，因其综合了许多重要基础知识点，承载着众多数学思想方法（如数形结合思想、待定系数法、方程思想、转化思想、消元思想等），因此历来备受考试命题者的关注和师生的重视。一般而言，抛物线解析式有三种形式：

1、一般形式：y=ax+bx+c(a≠0) 2、顶点形式：y=a（x-h）+k(a≠0)

3、两根形式：y=a(x-x1)(x-x2)------初中不要求掌握二、学生自学

例1、抛物线过点（1，2）、（3，0）、（-2，20），求抛物线的解板式。解析：可选用一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)设三元待定系数解答。

例2、抛物线的顶点为（-1，-2）且点N（1，10），求抛物线的解析式。

解析：既可选用一般形式，也可选用顶点形式，而设顶点形式为一元待定系数，计算方便，故可以设y=a（x+1）2-2(a≠0)，再利用点N确定a的值。

例3、二次函数的图象上有三点（-1，0）、（3，0）、（1，-5），求二次函数解析式。解析：（1）设二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)，用三元待定系数法解。（2）发现隐含条件，点（1，-5）为抛物线的顶点，可设顶点形式y=a（x-1）2 -5(a≠0)，因为是一元待定系数，所以计算简便。三、测验

1、已知二次函数的图象经过点（0,2）,（1,0）和（-2,3）,试求这个函数的表达式。 2、已知二次函数图象的顶点坐标是（-1,-6）,并且该图象经过点（2,3）,这个二次函数的表达式。

3、如图是某建筑物采用薄壳型屋顶，屋顶的横截面形状为一段抛物线（曲线AOB），它的拱宽AB为6米，拱高CO为0.9米，试建立适当的直角坐标系，写出这段抛物线所以应的二次函数表达式

这时，水面宽度为10m．

（1）在如图2-3-9所示的坐标系中求抛物线的表达式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0．2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？

yOACBAOCBx4、有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20m．水位上升3m，就达到警戒线CD，三种方式表示二次函数

1．已知函数y=ax＋bx＋c（a≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（）

A．0＜－

b2a2

＜1 B．0＜－

b2a＜2 C．1＜－

b2a＜2 D．－

b2a=1

2．抛物线y=ax2＋bx＋c（c≠0）如图②所示，回答：

（1）这个二次函数的表达式是；（2）当x= 时，y=3；（3）根据图象回答：当x 时，y＞0．

图① 图② 3．已知抛物线y=－x＋（6－2k）x＋2k－1与y轴的交点位于（0，5）上方，则k的取值范围是．六、课后练习

1．若抛物线y=ax＋b不经过第三、四象限，则抛物线y=ax＋bx＋c（）

A．开口向上，对称轴是y轴 B．开口向下，对称轴是y轴 C．开口向上，对称轴平行于y轴 D．开口向下，对称轴平行于y轴

2．二次函数y=－x＋bx＋c图象的最高点是（－1，－3），则b、c的值是（）

A．b=2，c=4 B．b=2，c=4 C．b=－2，c=4 D．b=－2，c=－4．

3．二次函数y= ax＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：① c＜0；②b＞0；③4a＋2b＋c＞0；④（a＋c）2＜b2．其中正确的有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．两个数的和为8，则这两个数的积最大可以为，若设其中一个数为x，积为y，则y与x的函数表达式为．

5．一根长为100m的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大，边长分别为．

6．若两个数的差为3，若其中较大的数为x，则它们的积y与x的函数表达式为，它有最值，即当x= 时，y= ．

7．边长为12cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为x的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积y（cm2）与x（cm）之间的函数表达式为． 8．等边三角形的边长2x与面积y之间的函数表达式为．

9．抛物线y=x＋kx－2k通过一个定点，这个定点的坐标为．

10．已知抛物线y=x2＋x＋b2经过点（a，－

14）和（－a，y1），则y1的值是．

11．如图，图①是棱长为a的小正方体，②、③是由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，由上而下分别叫第一层、第二层??第n层，第n层的小正方体的个数记为S，解答下列问题：

n 1 2 3 4 ? （1）按照要求填表：

s 1 3 6 ?

（2）写出当n=10时，S= ．

（3）根据上表中的数据，把S作为纵坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．

（4）请你猜一猜上述各点会在某一函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的表达式．

12．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图中二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润S（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S（万元）与时间t（月）之间的函数表达式；

（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；

（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？13、已知函数y=x2＋bx＋1的图象经过点（3，2）．

（1）求这个函数的表达式；

（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围．

14、一次函数y=2x＋3，与二次函数y=ax2＋bx＋c的图象交于A（m，5）和B（3，n）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；

（3）从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大．（4）当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？

15、行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑动一段距离才停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过130km/h），对这种汽车进行测试，刹车时车速（km/h） 0 10 测20 得数据如30 40 50 下60 表70 ：刹车距离（m） 0 1．1 2．4 3．9 5．6 7．5 9．6 11．9 （1）以车速为x轴，刹车距离为y轴，在下面的方格图中建立坐标系，描出这些数据所表示的点，并用平滑曲线连接这些点，得到函数的大致图象；

（2）观察图象，估计该函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；

（3）该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现测得刹车距离为26．4m，问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶，请说明理由．

16、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场

售价与上市时间的关系用图①中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间关系用图②中的抛物线表示．（1）写出图①中表示的市场售价与时间的函数表达式P=f（t），写出图②中表示的种植成本与时间函数表达式Q=g（t）；

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天）

17、美好而难忘的初中生活即将结束了，在一次难忘同窗情的班会上，有人出了这样一道题，如果在散会后全班每两个同学之间都握一次手，那么全班同学之间共握了多少次？

为解决该问题，我们可把该班人数n与握手次数s间的关系用下面的模型来表示．（1）若把n作为点的横坐标，s作为点的纵坐标，根据上述模型的数据，在给出的平面直角坐标系中，找出相应5个点，并用平滑的曲线连接起来．

（2）根据图象中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上，如果在，写出该函数的表达式．

（3）根据（2）中的表达式，求该班56名同学间共握了多少次手？

二次函数与一元二次方程练习：

1．抛物线y=a（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为则它的表达式为

．

2．已知抛物线的对称轴是x=－1，它与x轴交点的距离等于4，它在y轴上的截距是－6，3．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax＋bx＋c经过 4．抛物线y=x2－2x＋3的顶点坐标是

．

象限．

5．若抛物线y=2x2－（m＋3）x－m＋7的对称轴是x=1，则m= 6．抛物线y=2x＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m=

．

．．

7．已知抛物线y=ax2＋bx＋c的系数有a－b＋c=0，则这条抛物线经过点 8．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围 9．抛物线y=x2－2ax＋a2的顶点在直线y=2上，则a的值是 10．抛物线y=3x＋5x与两坐标轴交点的个数为（）

A．3个

B．2个

C．1个

ab?c2

?bD．无

?ca?b11．如图1所示，函数y=ax2－bx＋c的图象过（－1，0），则（）

A．－3

B．3

C．

12的值是

c?a D．－

12．已知二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图2所示，则下列关系正确的是（）

bbbbA．0＜－2a＜1 B．0＜－2a＜2 C．1＜－2a＜2 D．－2a=1

13．已知二次函数y=x2＋mx＋m－2．求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点． 14．已知二次函数y=x2－2kx＋k2＋k－2．

（1）当实数k为何值时，图象经过原点？

（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？ 15．已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．

（1）求m的取值范围；

（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；

（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．

16．已知二次函数y=x2－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图2-8-10．

（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？

（2）当m为何值时，方程x－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？

（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积．

17．在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足y=－

15x2＋10x．

（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？（2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？

18．已知抛物线y=x－（k＋1）x＋k．（1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点；（2）如图，若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C，试问：是否存在实数k，使△AOC与△COB相似？若存在，求出相应的k值；若不存在，请说明理由．

利润问题练习

1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．

（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？

2．将进货为40元的某种商品按50元一个售出时，能卖出500个．已知这时商品每涨价一元，其销售数就要减少20个．为了获得最大利益，售价应定为多少？ 3．某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40元～70元之间．市场调查发现，若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱；价格每降低1元，平均每天多销售3箱；价格每升高1元，平均每天少销售3箱．

（1）写出平均每天销售量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数表达式（注明范围）；（2）求出商场平均每天销售这种年奶的利润W（元）与每箱牛奶的售价x（元）之间的二次函数表达式；（每箱利润=售价－进价）

（3）求出（2）中二次函数图象的顶点坐标，并求出当x=40，70时W的值，在直角坐标系中画出函数图象的草图；

（4）由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大？最大利润是多少？

4．某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发，经过大量的服用试验后知，成年人按规定的剂量服用后，每毫升血液中含药量y微克（1微克=10－3毫克）随时间x小时的变化规律与某一个二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）相吻合．并测得服用时（即时间为0时）每毫升血液中含药量为0微克；服用后2小时每毫升血液中含药量为6微克；服用后3小时，每毫升血液中含药量为7．5微克．

（1）试求出含药量y（微克）与服药时间x（小时）的函数表达式，并画出0≤x≤8内的函数图象的示意图．（2）求服药后几小时，才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量．（3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少小时？（有效时间为血液中含药量不为0的总时间）

5．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间．但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变．现有一

经销商，按市场价收购了这种活蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg，据测算，此后1kg活蟹的市场价每天可上升1元．但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg．（1）设x天后1kg活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数表达式；

（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数表达式；

（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？

6．某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（10万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：

x（10万元） 0 1 2 ? y 1 1．5 1．8 ? （1）求y与x的函数表达式；（2）如果把利润看作是销售总额减去成本和广告费，试写出年利润S（10万元）与广告费x（10万元）函数表达式；

（3）如果投入的广告费为10万元～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？几何问题练习

1、如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？

2、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形OEGF的面积最大是多少？

3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积． 4、某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?

5、如图2-4-16所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在圆形水面中心，OA=1．25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线的路线落下．为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在与高OA距离为1米处达到距水面最大高度2．25米．

（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外？

（2）若水池喷出的抛物线形状如（1）相同，水池的半径为3．5米，要使水流不致落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1米，提示：可建立如下坐标系：以OA所在的直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴，点O为原点）

6、在一块长为30m，宽为20m的矩形地面上修建一个正方形花台．设正方形的边长为xm，除去花台后，矩形地面的剩余面积为ym2，则y与x之间的函数表达式是，自变量x的取值范围是

，最小值是

．y有最大值或最小值吗？若有，其最大值是，这个函数图象有何特点？

7、一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？

8、把3根长度均为100m的铁丝分别围成长方形、正方形和圆，哪个面积最大？为什么？ 9、周长为16cm的矩形的最大面积为上此时矩形是单元测试二 1、当n=

时，抛物线y=－5x2＋（n2－25）x－1的对称轴是y轴．

．

，此时矩形的边长为

，实际

2、已知二次函数y=x2－6x＋m的最小值为1，则m的值是

13、如果一条抛物线与抛物线y=－达式是

3x2＋2的形状相同，且顶点坐标是（4，－2），则它的表

．

4、将抛物线y=3x－2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线为（）

A．y=3（x＋2）2＋1 C．y=3（x＋2）2－5

B．y=3（x－2）2－1 D．y=3（x－2）2－2

5、二次函数y=x2＋mx＋n，若m＋n=0，则它的图象必经过点（）

A．（－1，1）（）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7、若抛物线y=3x2＋mx＋3的顶点在x轴的负半轴上，则m的值为． 8、已知：如图1，D是边长为4的正△ABC的边BC上一点，ED∥AC交AB于E，

DF⊥AC交A C于F，设DF=x．（1）求△EDF的面积y与x的函数表达式和自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，△EDF的面积最大？最大面积是多少；（3）若△DCF与由E、F、D三点组成的三角形相似，求BD长．

B．（1，－1）

C．（－1，－1）

D．（1，1）

6、如图是二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，点P（a＋b，bc）是坐标平面内的点，则点P在

9、如图2，有一块形状是直角梯形的铁皮ABCD，它的上底AD=3cm，下底BC=8cm，垂直于底的腰CD=6cm．现要裁成一块矩形铁皮MPCN，使它的顶点M、P、N分别在AB、BC、CD上．当MN是多长时，矩形MPCN的面积有最大值？

10、如图3，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点到MN的距离是4dm．要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在MN上，A、D落在抛物线上，试问这样截下的矩形铁皮周长能否等于8dm？

NADFEB11、如图4，在一直角三角形中建造一个内接于△ABC的矩形水池DEFN．其中DE在AB上，AC=8，BC=6．

（1）求△ABC中AB边上的高h；

（2）设DN=x，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？

（3）实际施工时，发现在AB上距B点1．85处有一棵大树，问这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？第二章回顾与思考一、填空题： ⑴抛物线y??12?x?2?2?5的对称轴是 .这条抛物线的开口向 . 2⑵用配方法将二次函数y?3x2?2x?1化成y?a?x?h??k的形式是 . ⑶已知二次函数y?x2?bx?3的图象的顶点的横坐标是1，则b= .

⑷.二次函数y??x?4x的图象的顶点坐标是，在对称轴的右侧y随x的增大而 2⑸已知抛物线y?2x?bx?c的顶点坐标是（-2，3），则bc= . 2⑹若抛物线y?4x?2x?c的顶点在x轴上，则c= . ⑺已知二次函数y?x?6x?m的最小值是1,那么m的值是 . ⑻若抛物线y?mx222??2m?1?x经过原点，则m= . 2⑼已知二次函数y??m?2?x?2mx??3?m?的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y轴的负半轴，则m的取值范围是 .

⑽若抛物线y?3x??m?2m?15?x?4的顶点在y轴上, 则 m的值是 . 22二、选择题：

(1)若直线y=ax+b不经过一、三象限，则抛物线y?ax2?bx?c（）. (A)开口向上，对称轴是y轴; (B) 开口向下，对称轴是y轴;

(C)开口向上, 对称轴是直线x=1; (D) 开口向下，对称轴是直线x=-1; ⑵抛物线y?2?x?1??x?3?的顶点坐标是( ).

(A)(-1,-3); (B)(1,3); (C)(-1,8); (D)(1,-8);

⑶若二次函数y?ax2?bx?c的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y轴的正

半轴; 则点P???a,c?b?在（）. ?(A)第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限; ⑷对于抛物线y?2x2?12x?17,下列结论正确的是（）.

(A)对称轴是直线x=3,有最大值为1;(B)对称轴是直线x=3,有最小值为-1; (C)对称轴是直线x=-3,有最大值为1;(D)对称轴是直线x=-3,有最小值为-1; ⑸已知直线y=x+m与抛物线y?x2相交于两点，则实数m的取值范围是( ). (A)m﹥?114; (B)m﹤?14; (C)m﹥

14; (D) m﹤

⑹若一条抛物线y?ax2?bx?c的顶点在第二象限，交于y轴的正半轴，与x轴有两个交点，则下列结论正确的是（）.

(A)a﹥0,bc﹥0; (B)a﹤0,bc﹤0; (C) a﹤0, bc﹥0; (D) a﹥0, bc﹤0 ⑺ 抛物线y?x2?3x?2不经过（）.

(A)第一象限; (B) 第二象限; (C) 第三象限; (D) 第四象限

⑻已知抛物线的顶点坐标是(2,1), 且抛物线的图象经过(3,0)点, 则这条抛物线的解析式是（）.

(A) y??x2?4x?3, (B)y??x2?4x?3, (C) y?x2?4x?3,(D) y??x2?4x?3,

⑼在同一直角坐标系中，抛物线y?x2?4x?5与直线y=2x-6的交点个数是( ). (A)0个; (B)1个; (C)2个; (D)3个. ⑽已知反比例函数y?k2x的图象如右图所示，则二次函数y?2kx?x?k2的图象为（）

3yyy y21-2-1.5 -1-0.50.511.5 -1OxOxOxOx-2-3D A．

⑾关于二次函数y=ax2＋bx＋c的图象有下列命题：

①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0且函数图象开口向下时，方程ax＋bx＋c=0 必有两个不等实根；③当a＜0，函数的图象最高点的纵坐标是数的图象关于y轴对称．其中正确命题的个数有（）

A．1个 B．2个 C．3个三、解答下列各题：

4ac?b4a2；④当b=0时，函D．4个

1、抛物线y=ax＋bx＋c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x=－1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式．

2、有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：

甲：对称轴是直线x=4；

乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；

丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三点为顶点的三角形面积为3．请写出满足上述全部特点的一个二次函数表达式

．

3、已知二次函数y?ax2?bx?c的图象经过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，求这个二次函数的解析式.

4、已知抛物线y??2?x?1??8,①求抛物线与y轴的交点坐标;②求抛物线与x轴的两个

2交点间的距离.

5、已知抛物线y?ax2?bx?c(a≠0) 经过(0,1)和(2,-3) 两点.①如果抛物线开口向下，对称轴在y轴的左侧，求a的取值范围;②若对称轴为x=-1. 求抛物线的解析式. 6、围猪圈三间（它的平面图为大小相等的三个长方形），一面利用旧墙，其它各墙（包括中间隔墙）都是木料，已知现有木料可围24米长的墙，试求每间猪圈的长与宽各是多少时总面积最大，并求最大面积.

7、某商人如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨价1元其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．

8、已知抛物线y?x?4x?k的顶点A在直线y=-4x-1上，设抛物线与 x轴交于B,C两点.①求抛物线的顶点坐标;②求△ABC的外接圆的面积（用准确值表示）.

9、如图，在一块三角形区域ABC中，∠C=90°，边AC=8，BC=6，现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG，如图的设计方案是使DE在AB上。 ⑴求△ABC中AB边上的高h;

⑵设DG=x,当x取何值时，水池DEFG的面积最大？ ⑶实际施工时，发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使三角形

ADEBGFC2区域中欲建的最大矩形水池能避开大树。

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