学 海 无 涯

【答案】解:(1)由P(1,2319)在椭圆上得,2?2?1 ① 2a4b2依题设知a?2c,则b?3c ②

222②代入①解得c?1,a?4,b?3.

x2y2??1. 故椭圆C的方程为43(2)方法一:由题意可设AB的斜率为k, 则直线AB的方程为y?k(x?1) ③

222222代入椭圆方程3x?4y?12并整理,得(4k?3)x?8kx?4(k?3)?0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),则有

8k24(k2?3)x1?x2?2,x1x2? ④ 24k?34k?3在方程③中令x?4得,M的坐标为(4,3k).

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333y2?3k?2,k?2,k?2?k?1. 从而k1?23x1?1x2?14?12y1?注意到A,F,B共线,则有k?kAF?kBF,即有

y1y?2?k. x1?1x2?133y2?2?2?y1?y2?3(1?1) 所以k1?k2?x1?1x2?1x1?1x2?12x1?1x2?2y1?x1?x2?23?2k?? ⑤

2x1x2?(x1?x2)?18k2?2234k?3?2k?1, ④代入⑤得k1?k2?2k??228k24(k?3)??1224k?34k?31又k3?k?,所以k1?k2?2k3.故存在常数??2符合题意.

2方法二:设B(x0,y0)(x0?1),则直线FB的方程为:y?y0(x?1), x0?1令x?4,求得M(4,3y0), x0?12y0?x0?1,

2(x0?1)从而直线PM的斜率为k3?y0?y?(x?1)?x0?15x?83y0?,), 联立? ,得A(0222x?52x?500?x?y?1?3?4则直线PA的斜率为:k1?2y0?2x0?52y0?3,直线PB的斜率为:k2?,

2(x0?1)2(x0?1)所以k1?k2?2y0?2x0?52y0?32y0?x0?1???2k3,

2(x0?1)2(x0?1)x0?1故存在常数??2符合题意.

42．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F?0,c??c?0?到直线l:x?y?2?0的距离为

32.设P为直2学 海 无 涯

线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点. (Ⅰ) 求抛物线C的方程;

(Ⅱ) 当点P?x0,y0?为直线l上的定点时,求直线AB的方程; (Ⅲ) 当点P在直线l上移动时,求AF?BF的最小值.

【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C的方程为x?4cy,由20?c?22?32结合c?0,2解得c?1.

所以抛物线C的方程为x?4y. (Ⅱ) 抛物线C的方程为x?4y,即y?设A?x1,y1?,B?x2,y2?22121x,求导得y??x 42x12x22,y2?(其中y1?),则切线PA,PB的斜率分别为4411x1,x2,

22x1x12x1x??y1,即所以切线PA的方程为y?y1??x?x1?,即y?222x1x?2y?2y1?0

同理可得切线PB的方程为x2x?2y?2y2?0

因为切线PA,PB均过点P?x0,y0?,所以x1x0?2y0?2y1?0,x2x0?2y0?2y2?0 所以?x1,y1?,?x2,y2?为方程x0x?2y0?2y?0的两组解. 所以直线AB的方程为x0x?2y?2y0?0.

(Ⅲ) 由抛物线定义可知AF?y1?1,BF?y2?1, 所以AF?BF??y1?1??y2?1??y1y2??y1?y2??1 联立方程??x0x?2y?2y0?0?x?4y2,消去x整理得y?2y0?x02?2?y?y20?0

22由一元二次方程根与系数的关系可得y1?y2?x0?2y0,y1y2?y0

所以AF?BF?y1y2??y1?y2??1?y0?x0?2y0?1

22又点P?x0,y0?在直线l上,所以x0?y0?2,

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1?9?所以y0?x0?2y0?1?2y0?2y0?5?2?y0???

2?2?2222所以当y0??19时, AF?BF取得最小值,且最小值为. 2243．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））平面直

x2y2角坐标系xOy中,过椭圆M:2?2?1(a?b?0)的右焦点F作直x?y?3?0交Mab于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为(Ⅰ)求M的方程;

(Ⅱ)C,D为M上的两点,若四边形ABCD的对角线CD?AB,求四边形ABCD面积的最大值.

【答案】

1. 2