学 海 无 涯

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38．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设椭圆

x2y2E:2??1的焦点在x轴上

a1?a2(Ⅰ)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;

(Ⅱ)设F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆E上的第一象限内的点,直线F2P交

y轴与点Q,并且F1P?F1Q,证明:当a变化时,点p在某定直线上.

【

2答

22案

222】解:

58x28x2??1(Ⅰ)?a?1?a,2c?1,a?1?a?c?a?，椭圆方程为：853.

(Ⅱ) 设F1(?c,0),F2(c,0),P(x,y),Q(0,m),则F2P?（x?c,y),QF2?(c,?m). 由1?a?0?a?(0,1)?x?(0,1),y?(0,1).

2?m(c?x)?yc F1P?(x?c,y),F1Q?(c,m).由F2P//QF2,F1P?F1Q得：??c(x?c)?my?0?x2y2?1?2?2a1?a??2222?(x?c)(x?c)?y?x?y?c.联立?x2?y2?c2解得

?a2?1?a2?c2???学 海 无 涯

2x22y222?2??1?x?(y?1).?x?(0,1),y?(0,1)?x?1?y 222x?y?11?x?y所以动点P过定直线x?y?1?0.

39．（2013年高考新课标1（理））已知圆M:(x?1)2?y2?1,圆N:(x?1)2?y2?9,动

圆P与M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线 C.

(Ⅰ)求C的方程;

(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.

【答案】由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1,圆N的圆心为N(1,0),半径

r2=3.

设动圆P的圆心为P(x,y),半径为R.

(Ⅰ)∵圆P与圆M外切且与圆N内切,∴|PM|+|PN|=(R?r1)?(r2?R)=r1?r2=4, 由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为3的椭圆x2y2??1(x??2). (左顶点除外),其方程为43(Ⅱ)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R?2≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.

∴当圆P的半径最长时,其方程为(x?2)?y?4, 当l的倾斜角为90时,则l与y轴重合,可得|AB|=23. 当l的倾斜角不为90时,由r1≠R知l不平行x轴,设l与x轴的交点为Q,则

0022|QP|R=,

|QM|r12. 4可求得Q(-4,0),∴设l:y?k(x?4),由l于圆M相切得|3k|1?k2?1,解得k??x2y222?1(x??2)并整理得7x2?8x?8?0,当k=时,将y?x?2代入?4344解得x1,2=18?4?622,∴|AB|=1?k|x1?x2|=.

77当k=-218时,由图形的对称性可知|AB|=, 47学 海 无 涯

综上,|AB|=

18或|AB|=23. 740．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设椭圆

x2y23的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆??1(a?b?0)3a2b2截得的线段长为43. 3(Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. uuuruuuruuuruuur若AC·DB?AD·CB?8, 求k的值.

【答案】

x2y23141．（2013年高考江西卷（理））如图,椭圆C：2+2=1(a>b>0)经过点P(1,),离心率e=,

ab22直线l的方程为x=4.

(1) 求椭圆C的方程;

(2) AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记

PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数?,使得k1+k2=?k3.?若存在求

?的值;若不存在,说明理由.