学 海 无 涯

211?x1?x2??2x1x2 ① ???x2x12x22x12x22x2?y2?1中,得 将y?kx?2代入22?2k2?1?x2?8kx?6?0 ②

2由???8k??4?2k?1?6?0,得k?22??3. 28k6,xx?, 12222k?12k?1182代入①中并化简,得x? ③

10k2?3由②可知x1?x2??因为点Q在直线y?kx?2上,所以k?y?2,代入③中并化简,得x10?y?2??3x2?18.

?336??6?2由③及k?,可知0?x?,即x????2,0??U??0,2??. 22????22又?0,2?????35?66?22满足,故. x??,10y?2?3x?18????????5??22?由题意,Q?x,y?在椭圆C内部,所以?1?y?1, 又由10?y?2??18?3x有

22?135?2?99?y?2?,y?,2?且,则?1?y?1??????. ?5??54??2所

以

点

Q的轨迹方程是

10?y?2??3x2?182,其

中,x???????166?35?,y?,2?,??? ??22?5??232．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））椭圆

x2y23右焦点分别是F1,F2,离心率为,过F1且垂直于xC:2?2?1(a?b?0)的左、

ab2轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设?F1PF2的角平分线

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PM交C 的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P点作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k?0,试证明个定值.

11?为定值,并求出这kk1kk2b2x2y2?2?1y??2222x??cc?a?ba ab【答案】解:(Ⅰ)由于,将代入椭圆方程得32b2c?1e??22 a由题意知a,即a?2b 又

x2?y2?1所以a?2,b?1 所以椭圆方程为4

uuuvuuuuvuuuuvuuuuvuuuvuuuuvuuuuvuuuuvPF1?PMPF2?PMPF1?PMPF2?PMvuuuuv=uuuuvuuuuv,uuuv=uuuuv,设P(x0,y0)其(Ⅱ)由题意可知:uuu|PF1||PM||PF2||PM||PF1||PF2|2232中x0?4,将向量坐标代入并化简得:m(4x0?16)?3x0?12x0,因为x0?4,

所以m?333x0,而x0?(?2,2),所以m?(?,) 422(3)由题意可知,l为椭圆的在p点处的切线,由导数法可求得,切线方程为: xy0y011x0x?,k2??y0y?1,所以k??0,而k1?,代入中得 4y0kkkk4x?3x?312x?3x0?311???4(0?)??8为定值. kk1kk2x0x0

x2?y2?1,曲线33．（2013年高考上海卷（理））(3分+5分+8分)如图,已知曲线C1:2学 海 无 涯

C2:|y|?|x|?1,P是平面上一点,若存在过点P的直线与C1,C2都有公共点,则称P为

“C1—C2型点”.

(1)在正确证明C1的左焦点是“C1—C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);

(2)设直线y?kx与C2有公共点,求证|k|?1,进而证明原点不是“C1—C2型点”; (3)求证:圆x?y?221内的点都不是“C1—C2型点”. 2

【答案】:(1)C1的左焦点为F(?3,0),过F的直线x??3与C1交于(?3,?2),2与C2交于(?3,?(3?1)),故C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为x??3; (2)直线y?kx与C2有交点,则

?y?kx?(|k|?1)|x|?1,若方程组有解,则必须|k|?1; ??|y|?|x|?1直线y?kx与C2有交点,则

?y?kx1222,若方程组有解,则必须 k??(1?2k)x?2?222?x?2y?2故直线y?kx至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”. (3)显然过圆x?y?221内一点的直线l若与曲线C1有交点,则斜率必存在; 2根据对称性,不妨设直线l斜率存在且与曲线C2交于点(t,t?1)(t?0),则

l:y?(t?1)?k(x?t)?kx?y?(1?t?kt)?0

直线l与圆x?y?2221|1?t?kt|2内部有交点,故 ?222k?112(k?1)............① 2化简得,(1?t?tk)?学 海 无 涯

若直线l与曲线C1有交点,则

?y?kx?kt?t?112?222?(k?)x?2k(1?t?kt)x?(1?t?kt)?1?0 ?x22?y?1??21??4k2(1?t?kt)2?4(k2?)[(1?t?kt)2?1]?0?(1?t?kt)2?2(k2?1)

2化简得,(1?t?kt)?2(k?1).....②

2212(k?1)?k2?1 2122但此时,因为t?0,[1?t(1?k)]?1,(k?1)?1,即①式不成立;

212当k?时,①式也不成立

2122综上,直线l若与圆x?y?内有交点,则不可能同时与曲线C1和C2有交点,

2122即圆x?y?内的点都不是“C1-C2型点” .

2由①②得,2(k?1)?(1?t?tk)?2234．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））如图,在正方

形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,10).分别将线段

OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,....A9和B1,B2,....B9,连结OBi,过Ai做x轴的

*垂线与OBi交于点Pi(i?N,1?i?9).

*(1)求证:点Pi(i?N,1?i?9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;

(2)过点C做直线与抛物线E交于不同的两点M,N,若?OCM与?OCN的面积比为

4:1,求直线的方程.

【答案】解:(Ⅰ)依题意,过Ai(i?N*,1?i?9)且与x轴垂直的直线方程为x?i ix 10QBi(10,i),?直线OBi的方程为y??x?i12?2设Pi坐标为(x,y),由?i得:y?x,即x?10y,

10y?x?10??Pi(i?N*,1?i?9)都在同一条抛物线上,且抛物线E方程为x2?10y