27．（2020?道里区模拟）四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．

（1）如图1，求证：∠BAC＝2∠DAC；

（2）如图2，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF、CF，求证：CF＝

CB；

（3）如图3，在（2）的条件下，若AF＝10，BC＝4

，求sin∠BAD的值．

28．（2020?江西模拟）如图①，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E在BC上，连接BD，DE，∠CDE＝∠ABD．

（1）求证：DE是⊙O的切线．

- 9 -

（2）如图②，当∠ABC＝90°时，线段DE与BC有什么数量关系？请说明理由．

（3）如图③，若AB＝AC＝10，sin∠CDE＝，求BC的长．

29．（2020?石家庄模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3．点M是AB边上一点，且∠CMB＝45°．点Q是直线AB上一点且在点B的右侧，BQ＝4，点

P从点Q出发，沿射线QA方向以每秒2个单位长度的速度运动，设运动时间

为t秒．以P为圆心，PC长为半径作半圆P，交直线AB分别于点G，H（点G在点H的左侧）．

（1）当t＝1秒时，PC的长为 ，t＝ 秒时，半圆P与AD相切； （2）当点P与点B重合时，求半圆P被矩形ABCD的对角线AC所截得的弦长； （3）若∠MCP＝15°，请直接写出扇形HPC的弧长为 ．

30．（2020?哈尔滨模拟）已知△ABP内接于⊙O，RB为⊙O的切线，RA交⊙O于点J．

（1）如图1，求证：∠RBA＝∠APB；

（2）如图2，Q为⊙O，上一点，连接JQ交AP于点E，∠PEQ＝∠AJQ+3∠AQJ，求证：∠ABP＝2∠AQJ+2∠AJQ；

- 10 -

（3）在（2）的条件下，若AP＝2，JQ＝2，求⊙O的半径．

- 11 -

参考答案

一．选择

1．解：过点B作BH⊥CD于点H． ∵点D为△ABC的内心，∠A＝60°， ∴∠BDC＝90°+∠A＝90°+＝120°，

则∠BDH＝60°， ∵BD＝4，BD：CD＝2：1 ∴DH＝2，BH＝2，CD＝2，

∴△DBC的面积为＝

＝2

， 故选：C．

2．解：作OD⊥BC，则BD＝CD，连接OA，OB，OC，∴OD是BC的垂直平分线 ∴

，

∴AB＝AC，

∴A在BC的垂直平分线上， ∴A、O、D共线， ∵∠ACB＝75°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝75°， ∴∠BAC＝30°，

- 12 -