第2讲 数列求和及综合应用
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1．已知数列递推关系求通项公式，主要考查利用an与Sn的关系求通项公式，利用累加法、累乘法及构造法求通项公式，主要以选择题、填空题的形式考查，有时作为解答的第(1)问考查，难度中等．
2．数列求和常与数列综合应用一起考查，常以解答题的形式考查，有时与函数不等式综合在一起考查，难度中等偏上．
[真题体验]
1．(2018·全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________. 解析：当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，∴a1＝－1. 当n≥2时，Sn＝2an＋1 ①
Sn－1＝2an－1＋1 ②
①－②得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1 即
an＝2，∴数列{an}是首项为－1，公比为2的等比数列， an－1
－1
1－21－2
6
∴S6＝＝－63.
答案：－63
2．(2019·天津卷)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0，已知a1＝b1＝3，
b2＝a3，b3＝4a2＋3.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
1，n为奇数，??
(2)设数列{cn}满足cn＝?nb，n为偶数，??2
求a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n(n∈N)．
*
??3q＝3＋2d，
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，依题意，得?2
??3q＝15＋4d，??d＝3，
解得?
??q＝3，
故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3
n－1
＝3.
nn所以，{an}的通项公式为an＝3n，{bn}的通项公式为bn＝3. (2)a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n
＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn) ＝?n×3＋
2
??
nn－1
2
1
×6??＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n×3n)
?
2
＝3n＋6×(1×3＋2×3＋…＋n×3)． 记Tn＝1×3＋2×3＋…＋n×3， ① 则3Tn＝1×3＋2×3＋…＋n×3
2
2
3
1
2
nnn＋1
，②
nn＋1
②－①得，2Tn＝－3－3－3－…－3＋n×32n－1
23
n＋1
3
＝－
3
1－3
1－3
n＋n×3
n＋1
＝
＋3.
2
2
所以a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝3n＋6Tn＝3n＋3×＝
2n－1
3＋6n＋9*
(n∈N)．
2
n＋2
2
2n－1
2
3
n＋1
＋3
[主干整合]
1．数列通项
??S1
(1)数列通项an与前n项和Sn的关系，an＝?
?Sn－Sn－1?
n＝1，n≥2.
(2)应用an与Sn的关系式f(an，Sn)＝0时，应特别注意n＝1时的情况，防止产生错误． 2．数列求和
(1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并．
(2)错位相减法：主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列．
(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如?
c?
?(其中{an}是各项均不为零的等差数列，c为常?anan＋1?
?
数)的数列．
热点一 求数列的通项公式
?1?则a等于( )
[例1] (1)(2020·临沂模拟)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln?1＋?，n?
n?
A．2＋ln n C．2＋nln n
B．2＋(n－1)ln n D．1＋n＋ln n
12
(2)(2020·成都模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝，Sn＝nan(n∈N)．则数
2列{an}的通项公式为____________．
[解析] (1)由已知，an＋1－an＝ln所以an－an－1＝ln
n＋1
，a1＝2， nnn－1
(n≥2)，
n－1
an－1－an－2＝ln，
n－2
…
a2－a1＝ln，
将以上n－1个式子叠加，得
21
nn－12
an－a1＝ln＋ln＋…＋ln n－1n－21
＝ln?
?n·n－1·…·2?
1??n－1n－2?
＝ln n.
所以an＝2＋ln n(n≥2)，
经检验n＝1时也适合．故选A. (2)由Sn＝nan，(ⅰ)得
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)an－1，(ⅱ)
(ⅰ)－(ⅱ)，得an＝nan－(n－1)an－1(n≥2，n∈N)， 所以(n＋1)an＝(n－1)an－1，即因为a1····…·
2
2
*
2
2
ann－1＝(n≥2)， an－1n＋1
a2a3a4a1a2a3an1123n－11＝×××·…·＝， an－12345n＋1nn＋1
11
又a1＝，符合上式，所以an＝.
2nn＋1[答案] (1)A (2)an＝1
nn＋1
1．数列{an}中，an与Sn的关系
?S1，n＝1，?an＝?
??Sn－Sn－1，n≥2.
2．求数列通项的常用方法
(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．
(2)在已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.
(3)在已知数列{an}中，满足求数列的通项an.
(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．
an＋1
＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累积法an