3
是坐标原点),证明：m≤
a－－1.
2e
22.(2015·山东,21)设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x－x),其中a∈R. (1)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由； (2)若?x＞0,f(x)≥0成立,求a的取值范围.
23.(2015·湖南,21)已知a＞0,函数f(x)＝esin x(x∈[0,＋∞)).记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N)个极值点,证明： (1)数列{f(xn)}是等比数列； (2)若a≥
24.(2015·福建,20)已知函数f(x)＝ln(1＋x),g(x)＝kx(k∈R). (1)证明：当x＞0时,f(x)＜x；
(2)证明：当k＜1时,存在x0＞0,使得对任意的x∈(0,x0),恒有f(x)＞g(x)； (3)确定k的所有可能取值,使得存在t＞0,对任意的x∈(0,t),恒有|f(x)－g(x)|＜x.
25.(2014·广东,21)设函数f(x)＝
1
2
*
2
ax1e－1
2
,则对一切n∈N,xn＜|f(xn)|恒成立.
*
x2＋2x＋k2
＋
x2＋2x＋k－3
,其中k<－2.
(1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示)； (2)讨论函数f(x)在D上的单调性；
(3)若k<－6,求D上满足条件f(x)>f(1)的x的集合(用区间表示).
e2
26.(2014·山东,20)设函数f(x)＝2－k(＋ln x)(k为常数,e＝2.718 28…是自然对数的底
xxx 5
数).
(1)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.
bex－1
27.(2014·新课标全国Ⅰ,21)设函数f(x)＝aeln x＋,曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的
xx切线方程为y＝e(x－1)＋2. (1)求a,b； (2)证明：f(x)>1.
?π?28.(2014·北京,18)已知函数f(x)＝xcos x－sin x,x∈?0，?.
2??
(1)求证：f(x)≤0；
sin x?π? (2)若a< 2?x? 29.(2014·江西,18)已知函数f(x)＝(x＋bx＋b)1－2x(b∈R). (1)当b＝4时,求f(x)的极值； 1 (2)若f(x)在区间(0,)上单调递增,求b的取值范围. 3 8 30.(2014·辽宁,21)已知函数f(x)＝(cos x－x)(π＋2x)－(sin x＋1),g(x)＝3(x－ 3 2 ?2x?π)cos x－4(1＋sin x)ln?3－?. ?π? ?π?证明：(1)存在唯一x0∈?0，?,使f(x0)＝0； 2?? 6 ?π? (2)存在唯一x1∈?，π?,使g(x1)＝0,且对(1)中的x0,有x0＋x1<π. ?2? B组 两年模拟精选(2016～2015年) 1.(2016·河北邯郸模拟)做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为( ) A.3 B.4 C.5 2 D.6 x2.(2016·北京重点中学模拟)已知a≥0,函数f(x)＝(x－2ax)e,若f(x)在[－1,1]上是单调减函数,则a的取值范围是( ) ?3? A.?0，? ?4??13?B.?，? ?24? x?3?C.?，＋∞? ?4??1?D.?0，? ?2? 3.(2016·江苏南京模拟)函数f(x)的导函数为f′(x),对?x∈R,都有2f′(x)>f(x)成立,若f(ln 4)＝2,则不等式f(x)>e2的解集是( ) A.(ln 4,＋∞) B.(0,ln 4) C.(1,＋∞) D.(0,1) 4.(2015·江西新余模拟)如图是函数f(x)＝x＋ax＋b的部分图象,则函数g(x)＝ln x＋ 2 f′(x)的零点所在的区间是( ) ?11??1? A.?，? B.(1,2) C.?，1? D.(2,3) ?42??2? 5.(2015·北京海淀4月模拟题)设某商品的需求函数为Q＝100－5P,其中Q,P分别表示需求量和价格,如果商品需求弹性值范围是________. 6.(2015·湛江质检)已知函数f(x)＝sin x(x≥0),g(x)＝ax(x≥0). (1)若f(x)≤g(x)恒成立,求实数a的取值范围； 13 (2)当a取(1)中的最小值时,求证：g(x)－f(x)≤x. 6 4x－7 7.(2015·浙江余杭模拟)已知函数f(x)＝,x∈[0,1]. 2－x(1)求f(x)的单调区间和值域； 7 2 EQ大于EP?1?其中＝－? EQEPQ′ P，Q′是Q的导数??,则商品价格P的取Q? (2)设a≥1,函数g(x)＝x－3ax－2a,x∈[0,1],若对于任意x1∈[0,1],总存在x0∈[0,1],使得g(x0)＝f(x1)成立,求a的取值范围. 答案精析 A组 三年高考真题（2016～2014年） 1.C [∵导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1,∴f′(x)－k＞0,k－1＞0,可构造函数g(x)＝f(x)－kx,可得g′(x)＞0,故g(x)在R上为增函数, ∵f(0)＝－1,∴g(0)＝－1,∴g?∴f? 1 ＞0, k－1 32 ?1?＞g(0), ??k－1? ?1?－k＞－1,∴f?1?＞1,∴选项C错误,故选C.] ??k－1?k－1?k－1?k－1?? 2.A [A正确等价于a－b＋c＝0,① B正确等价于b＝－2a,② 4ac－bC正确等价于＝3,③ 4aD正确等价于4a＋2b＋c＝8.④ 下面分情况验证, 2 a＝5，?? 若A错,由②、③、④组成的方程组的解为?b＝－10，符合题意； ??c＝8. 若B错,由①、③、④组成的方程组消元转化为关于a的方程后无实数解； 若C错,由①、②、④组成方程组,经验证a无整数解； 3 若D错,由①、②、③组成的方程组a的解为－也不是整数. 4综上,故选A.] 3.A [因为f(x)(x∈R)为奇函数,f(-1)＝0,所以f(1)＝-f(-1)＝0.当x≠0时,令g(x)＝ f（x）?f（x）?′＝ ,则g(x)为偶函数,且g(1)＝g(－1)＝0.则当x＞0时,g′(x)＝??x?x? xf′（x）－f（x） ＜0,故g(x)在(0,＋∞)上为减函数,在(－∞,0)上为增函数.所以在(0, x2 ＋∞)上,当0＜x＜1时,g(x)＞g(1)＝0?f（x） ＞0?f(x)＞0； xf（x） ＜0?f(x)＞0.综上,得使得f(x)＞0x在(－∞,0)上,当x＜－1时,g(x)＜g(－1)＝0? 8