第二节 导数的应用

A组 三年高考真题（2016～2014年）

1.(2015·福建,10)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1,其导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1,则下列结论中一定错误的是( )

1?1?1?1??1?＜1 D.f?1?＞k A.f??＜ B.f??＞ C.f???k－1?k－1

?k?k?k?k－1?k－1?k－1??2.(2015·陕西,12)对二次函数f(x)＝ax＋bx＋c(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是( )

A.－1是f(x)的零点 B.1是f(x)的极值点 C.3是f(x)的极值 D.点(2,8)在曲线y＝

2

f(x)上

3.(2015·新课标全国Ⅱ,12)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(－1)＝0,当x>0时,xf′(x)－f(x)＜0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( ) A.(－∞,－1)∪(0,1) B.(－1,0)∪(1,＋∞) C.(－∞,－1)∪(－1,0) D.(0,1)∪(1,＋∞)

4.(2015·新课标全国Ⅰ,12)设函数f(x)＝e(2x－1)－ax＋a,其中a<1,若存在唯一的整数

xx0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( )

A.?－

?3，1? B.?－3，3? C.?3，3? D.?3，1?

??2e4??2e4??2e?

?2e???????

πx2

.若存在f(x)的极值点x0满足x0＋

5.(2014·新课标全国Ⅱ,12)设函数f(x)＝3sin[f(x0)]

2

2

m A.(－∞,－6)∪(6,＋∞) B.(－∞,－4)∪(4,＋∞) C.(－∞,－2)∪(2,＋∞) D.(－∞,－1)∪(1,＋∞)

6.(2014·辽宁,11)当x∈[－2,1]时,不等式ax－x＋4x＋3≥0恒成立,则实数a的取值范围是( )

9?? A.[－5,－3] B.?－6，－? C.[－6,－2] D.[－4,－3] 8??7.(2016·全国Ⅱ,21)(1)讨论函数f(x)＝2>0；

e－ax－a(2)证明：当a∈[0,1)时,函数g(x)＝(x>0)有最小值.设g(x)的最小值为h(a),求2

x3

2

x－2xxe的单调性,并证明当x>0时,(x－2)e＋x＋x＋2

x函数h(a)的值域.

1

8.(2016·全国Ⅲ,21)设函数f(x)＝acos 2x＋(a－1)·(cos x＋1),其中a＞0,记|f(x)|的最大值为4. (1)求f′(x)； (2)求A；

(3)证明|f′(x)|≤2A.

9.(2016·全国Ⅰ,21)已知函数f(x)＝(x－2)e＋a(x－1)有两个零点. (1)求a的取值范围；

(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明：x1＋x2<2.

10.(2016·北京,18)设函数f(x)＝xe(e-1)x＋4. (1)求a,b的值； (2)求f(x)的单调区间.

11.(2016·四川,21)设函数f(x)＝ax－a－ln x,其中a∈R. (1)讨论f(x)的单调性；

11－x (2)确定a的所有可能取值,使得f(x)>－e在区间(1,＋∞)内恒成立(e＝2.718…为自

2

x2

a－x+bx,曲线y＝f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y＝

x然对数的底数).

2x－1

12.(2016·山东,20)已知f(x)＝a(x－ln x)＋2,a∈R.

x(1)讨论f(x)的单调性；

3

(2)当a＝1时,证明f(x)>f′(x)＋对于任意的x∈[1,2]成立.

2

2

13.(2015·新课标全国Ⅱ,21)设函数f(x)＝e＋x－mx. (1)证明：f(x)在(－∞,0)单调递减,在(0,＋∞)单调递增；

(2)若对于任意x1,x2∈[－1,1],都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1,求m的取值范围. 1＋x14.(2015·北京,18)已知函数f(x)＝ln. 1－x (1)求曲线y＝f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

mx2

?x? (2)求证：当x∈(0,1)时,f(x)＞2?x＋?； ?3?

?x? (3)设实数k使得f(x)＞k?x＋?对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值. ?3?

15.(2015·四川,21)已知函数f(x)＝－2(x＋a)ln x＋x－2ax－2a＋a,其中a＞0. (1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性；

(2)证明：存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,＋∞)内恒成立,且f(x)＝0在区间(1,＋∞)内有唯一解.

16.(2015·天津,20)已知函数f(x)＝nx－x,x∈R,其中n∈N,n≥2. (1)讨论f(x)的单调性；

(2)设曲线y＝f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y＝g(x),求证：对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x)；

(3)若关于x的方程f(x)＝a(a为实数)有两个正实根x1,x2,求证：|x2－x1|＜

17.(2015·江苏,19)已知函数f(x)＝x＋ax＋b(a,b∈R). (1)试讨论f(x)的单调性；

(2)若b＝c－a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范

3

2

2

2

3

3

n*

＋2. 1－na?3??3?围恰好是(－∞,－3)∪?1，?∪?，＋∞?,求c的值. ?2??2?

3

3x＋ax18.(2015·重庆,20)设函数f(x)＝(a∈R). xe

(1)若f(x)在x＝0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)若f(x)在[3,＋∞)上为减函数,求a的取值范围.

13

19.(2015·新课标全国Ⅰ,21)已知函数f(x)＝x＋ax＋,g(x)＝－ln x.

4 (1)当a为何值时,x轴为曲线y＝f(x)的切线；

(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)＝min{f(x),g(x)}(x>0),讨论h(x)零点的个数.

20.(2015·安徽,21)设函数f(x)＝x－ax＋b.

22

?ππ? (1)讨论函数f(sin x)在?－，?内的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值； ?22??ππ?2

(2)记f0(x)＝x－a0x＋b0,求函数|f(sin x)－f0(sin x)|在?－，?上的最大值D；

?22?

(3)在(2)中,取a0＝b0＝0,求z＝b－满足D≤1时的最大值.

4

21.(2015·广东,19)设a>1,函数f(x)＝(1＋x)e－a. (1)求f(x)的单调区间；

(2)证明：f(x)在(－∞,＋∞)上仅有一个零点；

(3)若曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行(O2

a2

x 4