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当PD＝BQ时，t＝时，即×＝8－v，解得：v＝．
333315
(3) 解法一：如图2，以C为原点，以AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
依题意，可知0≤t≤4，当t＝0时，点M1的坐标为(3，0)； 当t＝4时，点M2的坐标为(1，4)． y 设直线M1M2的解析式为y＝kx＋b，
B ?3k＋b＝0?k＝－2∴ ?，解得：?． ?k＋b＝4?b＝6
∴ 直线M1M2的解析式为y＝－2x＋6．
M2 ∵ 点Q(0，2t)，P(6－t，0)， Q 6－tM3 D ∴ 在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标为(，t)． 2
6－t6－t把x＝，代入y＝－2x＋6，得y＝－2×＋6＝t． M1 P A x C N 22
图2 ∴ 点M3在直线M1M2上．
过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N＝4，M1N＝2． ∴ M1M2＝25．
∴ 线段PQ中点M所经过的路径长为25单位长度． 解法二：如图3，设E是AC的中点，连接ME． 当t＝4时，点Q与点B重合，运动停止． 设此时PQ的中点为F，连接EF．
B 过点M作MN⊥AC，垂足为N，则MN∥BC． ∴ △PMN∽△PDC． MNPNPMMNPN1∴ ＝＝，即：＝＝． F QCPCPQ2t6－t2Q 1M D ∴ MN＝t，PN＝3－t， 2
11
∴ CN＝PC－PN＝(6－t)－(3－t)＝3－t．
22C H N E P A 11图3
∴ EN＝CE－CN＝3－(3－t)＝ t．
22
MN
∴ tan∠MEN＝＝2．
EN
∵ tan∠MEN的值不变，∴ 点M在直线EF上． 过F作FH⊥AC，垂足为H．则EH＝2，FH＝4． ∴ EF＝25．
∵ 当t＝0时，点M与点E重合；当t＝4时，点M与点F重合， ∴ 线段PQ中点M所经过的路径长为25单位长度．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及一次函数
的应用．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 22．(满分14分)如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标； (3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．
考点：二次函数综合题．
分析：(1) 利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
(2) 根据已知条件可求出OB的解析式为y＝x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标；
(3) 综合利用几何变换和相似关系求解． 方法一：翻折变换，将△NOB沿x轴翻折；
方法二：旋转变换，将△NOB绕原点顺时针旋转90°．
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B B
N
A O x O A x
D D
第22题图① 第22题图②
解答：解：(1) ∵ 抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过点A(3，0)、B(4，4)．
?9a＋3b＝0?a＝1∴ ?，解得：?． ?16a＋4b＝4?b＝－3∴ 抛物线的解析式是y＝x2－3x．
(2) 设直线OB的解析式为y＝k1x，由点B(4，4)，
得：4＝4k1，解得k1＝1．
∴ 直线OB的解析式为y＝x．
∴ 直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y＝x－m． ∵ 点D在抛物线y＝x2－3x上． ∴ 可设D(x，x2－3x)．
又点D在直线y＝x－m上，
∴ x2－3x ＝x－m，即x2－4x＋m＝0． ∵ 抛物线与直线只有一个公共点， ∴ △＝16－4m＝0，解得：m＝4． 此时x1＝x2＝2，y＝x2－3x＝－2， ∴ D点坐标为(2，－2)．
(3) ∵ 直线OB的解析式为y＝x，且A(3，0)，
∴ 点A关于直线OB的对称点A'的坐标是(0，3)． 设直线A'B的解析式为y＝k2x＋3，过点B(4，4)，
1
∴ 4k2＋3＝4，解得：k2＝．
41
∴ 直线A'B的解析式是y＝x＋3．
4
∵ ∠NBO＝∠ABO， ∴ 点N在直线A'B上，
1
∴ 设点N(n，n＋3)，又点N在抛物线y＝x2－3x上， y 41B ∴ n＋3＝n2－3n， A' 4
N 3
解得：n1＝－，n2＝4(不合题意，会去)，
4
345P2 ∴ 点N的坐标为(－，)．
416O A P1 方法一：如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，
D 345N 1则N1(－，－)，B1(4，－4)，
416
B1 ∴ O、D、B1都在直线y＝－x上．
∵ △P1OD∽△NOB， 图1 ∴ △P1OD∽△N1OB1，
OP1OD1∴ ＝＝，
ON1OB12
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特别注意求出P点坐标之后，该点关于直线y＝－x的对称点也满足题意，即满足题意的P点有两个，避免漏解． y y x 新本资料由http://chinesesx.com收集整理 345
∴ 点P1的坐标为(－，－)．
832
453
将△OP1D沿直线y＝－x翻折，可得另一个满足条件的点P2(，)．
328
345453y 综上所述，点P的坐标是(－，－)或(，)． 832328
B 方法二：如图2，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△N2OB2， A' 453N 则N2(，)，B2(4，－4)， 164
∴ O、D、B2都在直线y＝－x上． P1 N2 A ∵ △P1OD∽△NOB，
O x ∴ △P1OD∽△N2OB2，
P2 OP1OD1D ∴ ＝＝，
ON2OB22
453
B2 ∴ 点P1的坐标为(，)．
328
图2 345
将△OP1D沿直线y＝－x翻折，可得另一个满足条件的点P2(－，－)．
832
345453
综上所述，点P的坐标是(－，－)或(，)．
832328
点评：本题是基于二次函数的代数几何综合题，综合考查了待定系数法求抛物线解析式、一次函数(直线)
的平移、一元二次方程根的判别式、翻折变换、旋转变换以及相似三角形等重要知识点．本题将初中阶段重点代数、几何知识熔于一炉，难度很大，对学生能力要求极高，具有良好的区分度，是一道非常好的中考压轴题．
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