5．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）求tan∠ABO的值；

（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），B （4，3），

∴解得

，

，

所以，抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+1；

（2）如图，过点B作BC⊥x轴于C，过点A作AD⊥OB于D， ∵A（0，1），B （4，3）， ∴OA=1，OC=4，BC=3， 根据勾股定理，OB=

=

=5，

∵∠OAD+∠AOD=90°，∠AOD+∠BOC=90°， ∴∠OAD=∠BOC，

又∵∠ADO=∠OCB=90°， ∴△AOD∽△OBC， ∴即=

===

， ，

解得OD=，AD=， ∴BD=OB﹣OD=5﹣=

，

∴tan∠ABO=

==；

（3）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0，k、b是常数）， 则解得

， ，

所以，直线AB的解析式为y=x+1， 设点M（a，﹣a2+a+1），N（a，a+1）， 则MN=﹣a2+a+1﹣a﹣1=﹣a2+4a， ∵四边形MNCB为平行四边形， ∴MN=BC，

∴﹣a2+4a=3，

整理得，a2﹣4a+3=0， 解得a1=1，a2=3，

∵MN在抛物线对称轴的左侧，抛物线的对称轴为直线x=﹣∴a=1，

∴﹣12+×1+1=， ∴点M的坐标为（1，）．

=，

6．如图1，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧． （1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，求出点H的坐标；

（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将x=2，y=2代入抛物线的解析式得：﹣×4×（2﹣m）=2， 解得：m=4，

经检验：m=4是分式方程的解． ∴m的值为4．

（2）y=0得：0=﹣（x+2）（x﹣m），解得x=﹣2或x=m， ∴B（﹣2，0），C（m，0）． 由（1）得：m=4， ∴C（4，0）．

将x=0代入得：y=﹣×2×（﹣m）=2， ∴E（0，2）． ∴BC=6，OE=2．

∴S△BCE=BCOE=×6×2=6．

（3）如图1所示：连接EC交抛物线的对称轴于点H，连接BH，设对称轴与x轴的交点为P．

∵x=﹣，

∴抛物线的对称轴是直线x=1． ∴CP=3．

∵点B与点C关于x=1对称， ∴BH=CH．

∴BH+EH=EH+HC．

∴当H落在线段EC上时，BH+EH的值最小． ∵HP∥OE，

∴△PHC∽△EOC． ∴

，即

．解得HP=．

∴点H的坐标为（1，）．

（4）①如图2，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′．