初三数学九上压轴题难题提高题培优题

参考答案与试题解析

一．解答题（共8小题）

1．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．

（1）求抛物线的表达式；

（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似（不包括全等）若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：由题意可知．解得．

∴抛物线的表达式为y=﹣

．

（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M的坐标为（0，1）． 设直线MA的表达式为y=kx+b，则解得

．

．

∴直线MA的表达式为y=x+1． 设点D的坐标为（DF==

），则点F的坐标为（）．

．

当此时

时，DF的最大值为．

，即点D的坐标为（

）．

（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，

）．

在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在

第一象限．

①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3AN， ∴

，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．又

﹣3＜m＜0，故此时满足条件的点不存在．

②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MA上，∴只能PN=3AN， ∴

，即m2+11m+24=0．

解得m=﹣3或m=﹣8．此时点P的坐标为（﹣8，﹣15）． ③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则﹣36=0．

解得m=﹣3（舍去）或m=2． 当m=2时，若PN=3NA，则﹣

．此时点P的坐标为（2，﹣）．

，即m2﹣7m﹣30=0．

，即m2+m﹣

解得m=﹣3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，﹣39）．

综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）．

2．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=4，∠AOB=120°． （1）求这条抛物线的表达式；

（2）联结OM，求∠AOM的大小；

（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥y轴于点D， ∵AO=OB=4， ∴B（4，0）． ∵∠AOB=120°， ∴∠AOD=30°， ∴AD=OA=2，OD=

OA=2

．

∴A（﹣2，2）． 将A（﹣2，2），B（4，0）代入y=ax2+bx，得：

，解得：

，

∴这条抛物线的表达式为y=x2﹣x；

（2）过点M作ME⊥x轴于点E， ∵y=

x2﹣

x=

（x﹣2）2﹣

， ．

∴M（2，﹣），即OE=2，EM=

∴tan∠EOM==．

∴∠EOM=30°．

∴∠AOM=∠AOB+∠EOM=150°． （3）过点A作AH⊥x轴于点H， ∵AH=2，HB=HO+OB=6， ∴tan∠ABH=

=

．

∴∠ABH=30°， ∵∠AOM=150°， ∴∠OAM＜30°， ∴∠OMA＜30°，

∴点C不可能在点B的左侧，只能在点B的右侧． ∴∠ABC=180°﹣∠ABH=150°， ∵∠AOM=150°， ∴∠AOM=∠ABC．

∴△ABC与△AOM相似，有如下两种可能： ①△BAC与∽△OAM，②△BAC与∽△OMA ∵OD=2，ME=∴OM=

，

，

∵AH=2，BH=6， ∴AB=4．

①当△BAC与∽△OAM时， 由

=

得，解得BC=4．

∴C1（8，0）．

②当△BAC与∽△OMA时， 由

=

得，解得BC=12．

∴C2（16，0）．

综上所述，如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似， 则点C的坐标为（8，0）或（16，0）．