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∴∠OAP=∠OEP=45°， ∴点O在AC上，

当P运动到点B时，O为AC的中点，OA=AC=2即点O经过的路径长为2

；

，

（3）解：设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，如图2所示： 则MN∥AE， ∵ME=MP， ∴AN=PN， ∴MN=AE，

设AP=x，则BP=4﹣x， 由（1）得：△APE∽△BCP， ∴

，即

，

解得：AE=x﹣x2=﹣（x﹣2）2+1，

∴x=2时，AE的最大值为1，此时MN的值最大=×1=， 即△APE的圆心到AB边的距离的最大值为．

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