高等数学教案 §3 中值定理与导数的应用
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第三章 中值定理与导数的应用
教学目的：
1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定
理和泰勒中值定理。 2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函
数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点
以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。 4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
5、 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 6、 知道方程近似解的二分法及切线性。 教学重点：
1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；
2、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法； 3、函数图形的凹凸性； 4、洛必达法则。 教学难点：
1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用； 2、极值的判断方法；
3、图形的凹凸性及函数的图形描绘； 4、洛必达法则的灵活运用。 §3? 1 中值定理
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高等数学教案 §3 中值定理与导数的应用
一、罗尔定理
费马引理
设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义? 并且在x0处可导? 如果对任意x?U(x0)? 有
f(x)?f(x0) (或f(x)?f(x0))? 那么f ?(x0)?0?
罗尔定理 如果函数y?f(x)在闭区间[a, b]上连续? 在开区间(a, b)内可导? 且有f(a)?f(b)? 那么在(a, b)内至少在一点 ? 使得f ?()?0? 简要证明? (1)如果f(x)是常函数? 则f ?(x)?0? 定理的结论显然成立?
(2)如果f(x)不是常函数? 则f(x)在(a? b)内至少有一个最大值点或最小值点? 不妨设有一最大值点?(a? b)? 于是
f(x)?f(?)?0? x???x??f(x)?f(?)?(?)?limf?(?)?f??0? x???x???(?)?limf?(?)?f?所以f ?(x)=0.
罗尔定理的几何意义? 二、拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理 如果函数f(x)在闭区间[a? b]上连续? 在开区间(a? b)内可导? 那么在(a? b)内至少有一点(a< f(b)?f(a)?f ?()(b?a) 成立? 拉格朗日中值定理的几何意义? )?f(a)f ?()f(bb ?a 定理的证明? 引进辅函数 )?f(a)令(x)?f(x)?f(a)?f(bb(x?a)? ?a容易验证函数f(x)适合罗尔定理的条件? 【最新整理，下载后即可编辑】 (a)?(b)?0? (x)在闭区 高等数学教案 §3 中值定理与导数的应用 间[a? b] 上连续在开区间(a? b)内可导? 且 )?f(a)?(x)?f ?(x)?f(bb? ?a根据罗尔定理? 可知在开区间(a? b)内至少有一点 即 )?f(a)f ?()?f(bb?0? ?a? 使 ?()?0? 由此得 f(b)?f(a)? f ?(b?a) ? 即 f(b)?f(a)?f ?()(b?a)? 定理证毕? f(b)?f(a)?f ?()(b?a)叫做拉格朗日中值公式? 这个公式对于b 拉格朗日中值公式的其它形式? 设x 为区间[a? b]内一点? x?x 为这区间内的另一点(x>0或x<0)? 则在[x? x?x ] (x>0)或[x?x? x ] (x<0)应用拉格朗日中值公式? 得 f(x?x)?f(x)?f ?(x??x) ? x (0 如果记f(x)为y? 则上式又可写为 y?f ?(x??x) ? x (0 试与微分d y?f ?(x) ? x 比较? d y ?f ?(x) ? x是函数增量y 的近似表达式? 而 f ?(x??x) ? x是函数增量y 的精确表达式? 作为拉格朗日中值定理的应用? 我们证明如下定理? 定理 如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零? 那么f(x)在区间I上是一个常数? 证 在区间I上任取两点x1? x2(x1 f(x2)?f(x1)?f ?()(x2 ? x1) (x1<< x2)? 由假定? f ?()?0? 所以f(x2)?f(x1)?0? 即 【最新整理，下载后即可编辑】 高等数学教案 §3 中值定理与导数的应用 f(x2)?f(x1)? 因为x1? x2是I上任意两点? 所以上面的等式表明? f(x)在I上的函数值总是相等的? 这就是说? f(x)在区间I上是一个常数? x?ln(1?x)?x? 例2? 证明当x0时? 1?x 证 设f(x)?ln(1?x)? 显然f(x)在区间[0? x]上满足拉格朗日中值定理的条件? 根据定理? 就有 f(x)?f(0)?f ?()(x?0)? 0< 1由于f(0)?0? f?(x)?1?? 因此上式即为 x 又由0 ln(1?x)?x1??? x? 有 x?ln(1?x)?x? 1?x 三、柯西中值定理 设曲线弧C由参数方程 ?X?F(x) ?Y?f(x)? (a?x?b) 表示? 其中x为参数? 如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线? 那么在曲线C上必有一点x?? 使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB? 曲线C上点x?处的切线的斜率为 dY?f?(?)? dXF?(?)弦AB的斜率为 f(b)?f(a) F? (b)?F(a)于是 f(b)?f(a)f?(?)? ?F(b)?F(a)F?(?) 柯西中值定理 如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a? b]上连续? 在开区间(a? b)内可导? 且F ?(x)在(a? b)内的每一点处均不为零? 那么在(a? b)内至少有一点? 使等式 【最新整理，下载后即可编辑】