3 积的乘方
课前知识管理
1、积的乘方法则：积的乘方，等于把积的 每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘.字母表达式为：?ab??anbn（n为正整数）.积的乘方法则也可推广到三个或三个以上因式的积的乘方的情形：即：?abc??anbncn（n为正整数）.法则中的底数可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，指数可以是任意的正整数或表示正整数的式子（单项式或多项式）. 2、运用积的乘方法则的关键在于底数，只有a,b之间的运算是乘法运算（不能是加、减运算），才可以把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.当a,b之间的运算不是乘法运算，但能转化为乘法运算时，也可以运用此法则，否则不能用此法则.特别注意不要把和的乘方与积的乘方相混淆，一般地，如?a?b??a?b.
nnnnn3、法则的逆用，即ab??ab?（n为正整数）.
nnn
名师导学互动
典例精析：
知识点：积的乘方法则 例1、计算：x2y????xy????2xy?2223?x4?x2y3.
??【解题思路】题中x2y?x2y可视为同底数幂的乘法，故可先做乘法，后做幂的乘方；
????263x4?x2y3应利用乘法结合律解决.
【解】原式=x2y???????8xy???x32544?x2y3?x6y3?8x6y3?x6y3?10x6y3.
?【方法归纳】做混合运算，要先认真观察分析题目的结构，包含的运算方法，应采用的运算顺序等，正确选择、灵活运用所学运算性质（法则），并注意防止符号错误. 对应练习：计算(2abc)所得的结果是（ ）
220A. 2abc
4820B. 8abc
nn
469C. 8abc 4820D. 16abc
知识点：逆用积的乘方公式： ab?(ab) 例2、已知：a=3，b=2， amm
nmnbnm=216，求n的值.
nnn【解题思路】正确理解积的乘方公式，并且能合理地运用公式：ab?(ab)，同时把底数都化成6.
1
mnmnmmm
【解】因为ab?(ab)，并且a=3，bm =2，所以ab=216=（ab）=（3×2）
n
n
nnn=6， 所以n=3.
【方法归纳】本题的实质是通过逆用幂的运算法则,把原式转化成积的乘方的形式,然后再整体代入,这种逆向使用幂的运算法则的方法,是一种常用的运算方法. 对应练习：已知x?5,y?3，求??xy?的值.
nn2n3
知识点：综合应用幂的运算法则 例3、设k= 82007×()182008，则k的值为 . A 8 B
1 8C 1 D无法计算
【解题思路】这里两个幂的底数不相同，指数也不相同，因此我们不能直接计算，但这并不意味着不能计算，因为2008=2007+1，因此，同学们可以先逆用同底数幂的乘法公式，把()转化成()1820081?，然后再逆用积的乘方公式： anbn?(ab)n，问题就可以解决. 81200812007?1120081200711【解】因为()=()，所以()=()?， 所以82007×()2008=82007×
88888811111()2007?=(8?)2007×=，所以，选B. 88888200718【方法归纳】当底数间互为倒数关系时,通常逆用幂的运算法则巧做整合,使之出现底数是1或–1的幂,本题中将()182008化为()20071820071?(),是逆用了同底数幂的乘法法则am?an?am?n;8nnn11??2007将8?()2007化为?8?()?88??对应练习：计算:(?8)2007是逆用了积的乘方的法则(ab)?a?b.
?(?0.125)2008.
知识点：实际应用题
2
例4、某养鸡场需定制一批棱长为3×10毫米的正方体鸡蛋包装箱（包装箱的厚度忽略不计），求一个这样的包装箱的容积．（结果用科学记数法表示） 【解题思路】正方体包装箱的容积等于棱长的立方，在列式时，因棱长为3×10，注意要整体添加括号后再利用积的乘方展开计算.
【解】（3×10）=3×（10）=27×10=2.7×10（立方毫米）．答：?一个这样的包装箱的容积是2.7×10立方毫米．
【方法归纳】本题考查积的乘方和幂的乘方的综合运用，注意正确运用科学记数法表示大数．
72
3
3
2
3
6
7
2
2
对应练习：数学课上老师与同学一起利用球体的体积公式V?43?r计算出地球的体积约是32“太阳也可以看作球体，它的半径是地球半径的10倍，9.05?1011立方千米，接着老师说：
那么太阳的体积约是多少立方千米呢？”同学们马上计算起来，不一会儿，学生甲说：“是
9.05?1013立方千米.”
学生乙说：“是9.05?10立方千米.”学生丙说：“是9.05?10立方千米.”谁说得正确呢？为什么？
易错警示
1、“分别乘方”错为“个别乘方”. 例5、计算ab错解：ab1517??32.
??32?ab6
错解剖析：本题错解在于只把后一个因式乘方而没有将因式a乘方.本题应运用“积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘”进行计算. 正解：ab??32?a2(b3)2?a2b6
2、“底数不同”误认为“底数相同”. 例6、计算(?a)?a. 错解：(?a)?a?(?a)535?353?(?a)8?a8.
错解剖析：本题错解在于把(?a)与a“底数不同”误认为“底数相同”.当底数互为相反数时,应先将底数化成同底数,再运用法则计算. 正解：(?a)?a??a?a??a
课堂练习评测
知识点1：积的乘方法则
1、下列计算正确的是（ ） A、?a?b??a?b B、?abc66353535?3??a8.
6?232??ab4c6
22633 C、??abc??abc D、??a?b?c??4??a?b?c4
82、如果a?b?b?mn3??a6b15，那么m,n的值分别为（ ）
A、2，4 B、2，5 C、3，5 D、3，－5
3
3、时空连线，在现实世界里，三个小朋友正在计算幂的乘方和积的乘方运算，在数字世界里，正在形成他们的计算结果，请将它们用实线连接起来．
2007A．(0.125)(－8)2008×5①13②153B．()2008·(2)200713515C．(0.125)·(215)3③8
知识点2：逆用积的乘方法则
14n?14n?2y时，x的值为（ ）
71111A、 B、－ C、 D、－
7749494、当x?7,y??5、若A?xy，则A= . 6、计算:
33 （1）2?5
39121615(?5)?(?2) （2） 4442?4?(?0.125) （3）
1111(??????1)10?(10?9?8???2?1)102 （4）1098
课后作业练习
基础训练
1、计算（xy）的结果是（ ）
A．xy B．xy C．xy D．xy 2、计算（－3a）的结果是（ ）
A．3a B．－3a C．9a D．－9a 3、计算（－0.25）
2008
4
4
4
4
2
2
5
6
23
63
2
3
×4
2008
的结果是（ ）
4016
A．－1 B．1 C．0.25 D．4
6
33233222333(2?6)?(3?6)(2)?(3)中，结果等(2?3)6?64、下列四个算式：①②③④
于6的是（ ） A. ①②③ C. ②③
B. ②③④
D. ③④
4