【练习】

1.仔细观察下面的哪些数能同时被7、11和13整除？ 7007 7070 1313 13013 713713 13713 68968 689689 689986 24024 420420 420024 505505 50005 5005 123123 243342 908908 10101 101010 101101 11011 67567 196691 19911991 199991 199199 991199 1860186 999999

2.用0、3、8三个数字组成能同时被7、11和13整除的数（每个数字在同一个数中允许用几次）.

（1）组成一个四位数；（2）组成一个五位数；（3）组成一个六位数.

11 同余的解题规律

在作除法运算时，我们有这样的经验：

（1）一些不同的数除以一个相同的数可能会得到相同的余数.如，除以5余3的数有 5×1+3=8， 5×2+3=13， 5×3+3=18， 5×4+3=23， …………

（2）一个相同的数除以一些不同的数，可能会有相同的余数.如，389分别除以5、7和11会得到相同的余数4.

389÷5=77……余4， 389÷7=55……余4， 389÷11=55……余4. 由此，我们可以来讨论下面的两个问题. 例1考察下表：

根据上表，我们可以考虑这样的问题：

某数被5除余4，被7除也余4，被11除还余4.要求某数和某数最小是多少？读者一定会想到有：

5×7×11+4=389， 5×7×11×2+4=774， 5×7×11×3+4=1159， ………… 答案有无数多个，但最小的只能是389.

现在，我们把这个问题上升到一般形式. 第13页

问题一:某数分别除以a、b、c、……，都得到相同的余数k.求某数最小是多少？聪明的读者，能得出答案吗？ 例2考察下表：

需要请读者注意的是，382、767、1152分别除以5、7和11所得的余数2、4、8，虽然都不相同，但是都与相应的除数相差同样多.即 5-2=3， 7-4=3， 11-8=3.

于是，我们也可以提这样的问题：某数被5除余2，被7除余4，被11除余8.问某数是多少和某数最小是多少？读者一定会想到是

5×7×11×1-3=382， 5×7×11×2-3=767， 5×7×11×3-3=1152， ………… 答案有无数多个，但最小只能是382. 这个问题的一般形式是：

问题二:某数分别除以a、b、c、……得数相应的余数分别是A、B、C、……，并且，这些余数跟相应的除数都相差同样多（也设为k），即

a-A=b-B=c-C=……=k. 求某数最小是多少？聪明的读者，能得出答案吗？ 【规律】

某数分别除以a、b、c、……，都得到相同的余数k.求某数最小是多少？答案是 [a，b，c，……]+k.

某数分别除以a、b、c、……，得到相应的余数A、B、C、……，并且这些余数跟相应的除数都相差同样多（设为k），即

a-A=b-B=c-C=……=k.求某数最小是多少？答案是 [a，b，c，……]-k. 【练习】

1.某数分别除以3、5和7，都有相同的余数2.求某数最小是多少？（2除外） 2.某数被5、6、7除，都得到相同的余数1.问某数在1000以内有哪几个答案？ 3.某数用5除余3，用7除余5，用9除余7，用11除余9.求某数最小是多少？ 4.某数分别用5、7、9和11除，刚好都是差3才能整除.求某数最小是多少？ 5.某数被2000除，余1993；被1999除，余1992；被1998除，余1991.求某数最小是多少？

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