毫无疑问，这些数可以按照我们的思路毫无遗漏地一一列出，但要费上好些时间和纸张. 值得大家再思索的是，如果用1～9这九个数字组成四位数、五位数、六位数、……，它们的个数该怎样求呢？ 我们可以采用同样的方法.

用九个数字组成四位数，先选九个数中的某个数作千位上的数字，有九种方法；再选余下的八个数字中的某个数作百位上的数字，有八种方法，接着，选余下的七个数字中的某个数字作十位上的数字，共有七个方法；最后，选剩下的六个数字中的某个数字作个位上的数字，共有六种方法.因此，可以组成 9×8×7×6=3024（个） 不同的四位数.

不必让我再啰嗦，下面组成五位数、六位数、……的情形，读者一定能够一一列出. 如果我们采用符号来记录前面的各种情形：用1～9九个数字，可以组成多少个各位数字不同的n位数？请读者自己写出答案.

综合前面的两个例子，我们的读者是不是能够概括出一般的规律： 用m个不同的数字可以组成多少个各位数字不同的n位数？ 【规律】

用m个数字可以组成各位数字不同的两位数的个数是： m×（m-1）

用九个数字可以组成各位数字不同的n位数的个数是： 9×8×……[9（n-1）]

用m个数字组成各位数字不同的n位数的个数是： m×（m-1）×……×[m-（n-1）] 【练习】

1.用1、2、3三个数可以组成多少个数字各不相同的三位数？

2.用2、4、6、8可以组成多少个数字各不相同的四位数？写出最大的四位数和最小的四位数.

3.用0、5、6三个数字，可以组成多少个各位数字不同的三位数？

4.选用1、2、8、9中的三个数字，可以组成多少个各位数字不同的三位数？ 5.选用0～9十个数字中的三个数字，可以组成多少个各位数字不同的三位数？写出最大的三位数和最小的三位数？ 第5页

6.如果每个数字允许重复使用，那么，用3、5、8这三个数字可以组成多少个不同的三位数？

7.数字各不相同的两位数共有多少个？ 8.至少有两个数字相同的三位数共有多少个？

6 巧用分解质因数

我们来观察一种换算过程. 26×69×95×119

=（2×13）×（3×19）×（3×23）×（7×17） =2×13×3×19×3×23×7×17 =3×13×2×19×7×23×3×17

=（3×13）×（2×19）×（7×23）×（3×17） =39×38×161×51. 即

26×69×95×119=39×38×161×51.

这表明乘积相等，但不一定是相同的两组数，分解质因数后的质因子一定是相同的！ 这种换算过程，似乎已经暗示我们能够找到解决这一类题的基本方法了.

要将52、57、65、68、69、95、119、161这八个数分成两组， 使它们的乘积相等.该怎样分？

聪明的读者，你能找到解决本问题的方法吗？ 【规律】

将52、57、65、68、69、95、119、161这八个数，分成乘积相等的两组，方法是： 第一步，将每个数都分解质因数.

52=2×2×13，57=3×19， 65=5×13，68=2×2×17， 69=3×23，95=5×19， 119=7×17，161=7×23.

第二步，把质因子的个数平分成两组，同时考虑到，同一个数分解的几个质因子不能拆开.

①2×2×13，5×19，7×17，3×23； ②5×13，3×19，2×2×17，7×23. 第6页

第三步，将质因子对应的数还原，写出答案. 52×95×119×69=65×57×68×161. 【练习】

1.将14、21、22、26、30、33、143、165这八个数分成两组，使它们的乘积相等.该怎样分？

2.将57、65、68、161、182、285、782这七个数分成两组，使两组数的乘积相等.该怎样分？

3.将12、20、26、42、65、35、84、91、98这九个数分成三组，使三组数的乘积都相等.该怎样分？

4.能找到与38、51、55、91这四个数的乘积相等的另外四个两位数吗？试一试，看共能找出几组这样的数来.

5.一个长方形的面积是210平方厘米，并且它的长比宽多1厘米.求这个长方形的长和宽.

7 和与差的整除性

我们知道，2、4、6、8、10、??都是能被2整除的整数.如果在这些数之间作和运算或差运算：

2+4=6，4+6=10，6+8=14， 2+4+6=12， 2+6=8，4+8=12，6+10=16， 2+4+6+8=20， 2+8=10，4+10=14，???? 2+4+6+8+10=30， 2+10=12，???? ???? ????

4-2=2，6-4=2，8-6=2， 6-2=4，8-4=4，10-6=4， 8-2=6，10-4=6，???? 10-2=8，

????

我们发现，它们之间的和或差也都能被2整除.因此，我们有理由猜想：能被2整除的数之间的和或差也能被2整除.

我们还知道，3、6、9、12、15、??都是能被3整除的数.如果在这些数之间作和运算或者差运算：

第7页

3+6=9，6+9=15，9+12=21， 3+6+9=18， 3+9=12，6+12=18，9+15=24， 3+6+9+12=30， 3+12=15，6+15=21，??? 3+6+9+12+18=48， 3+15=18，???? ??? ???

6-3=3，9-6=3，12-9=3， 9-3=6，12-6=6，15-9=6， 12-3=9，15-6=9，??? 15-3=12，??? ???

这些运算的结果也都能被3整除.因此，我们又有理由猜想：能被3整除的数之间的和或差也能被3整除.

有了前面的两点猜想，我们似乎可以作更大胆的猜想：如果有一些数能被某个数整除，那么，这些数之间的和或差也一定能被某个数整除.

令人不放心的是，关于这个猜想，我们还仅只是考察了“某数”是2和3的部分情形.是不是对所有的情形都正确呢？解决这个问题的办法有两个：一是再接着逐个去验证考察。但这是一件永远也办不完的麻烦事情！另一个办法是用符号（这个发明用符号来表达数学关系的前辈确实是一个伟大的天才！）表示出“猜想”中的数学关系，然后，去想方设法说清它正确的道理.亲爱的读者，你能完成这项工作吗？ 【规律】

如果有整数A、B、C、??都能被整数m整除，那么，就有A±B±C±?? 的结果也能被m整除.

事实上，整数A、B、C、??都能被整数m整除，那么，这些整数就可以分别写成m的倍数形式：

A=a·m，B=b·m，C=c·m，?? （其中a、b、c仍为整数）.这样 A±B±C±??

=a·m±b·m±c·m±?? =（a±b±c±??）·m.

显然，后面的结果是m的倍数，能被m整除.这就说明了原式A±B±C±??也能被m整除.猜想是正确的. 第8页