1 趣味平方数探秘

如果规定

1×1=12， 2×2=22， 3×3=32， …………

我们就称12，22，32，……分别是1的平方，2的平方，3的平方，…….

关于数的平方有许多很有趣的规律.在这里，我们一起来研究两组算式，看都有怎样的规律.

（1）这是一组有趣的算式：

1=12， 1+2+1=22， 1+2+3+2+1=32， 1+2+3+4+3+2+1=42， ………… 想一想，再往下写，会是怎样的算式？你还能接着往下写吗？ （2）下面有一组竖式： …………

如果把它们改写成横式就是：

12=1， 112=121， 1112=12321， …………

想一想，下一个算式该怎样写呢？像这样的算式还能写几个？ 【规律】

1+2+3+4+5+4+3+2+1=52， 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=62，

一般地，有1+2+3+……+n+……+3+2+1=n2（其中字母n代表任意的自然数）. 11112=1234321.像这样的算式还能继续写上五个：

111112=123454321， 1111112=12345654321， 11111112=1234567654321， 111111112=123456787654321， 1111111112=12345678987654321.

2 两个自然数游戏

不必计算，就能说出算式6759×78437843-7843×67596759的得数来.你有这个本领吗？其实这并不困难，只要你认真研究了下面的这几组算式的结果就可以了. 请先观察算式的特点，再算出算式的得数.

（1）1×22-2×11 2×33-3×22 3×44-4×33 ………… （2）11×2222-22×1111 12×3434-34×1212 56×7878-78×5656 …………

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（3）222×333333-333×222222 124×234234-234×123123 ………… （4）1234×56785678-5678×12341234 ………… 这些算式的答案如何？它们当中的奥秘是什么？ 【规律】

这些算式的答案都是0.

由两自然数连续写上两遍所得的数，那么这些算式及它们的得数都有下面的规律： 因此，就有 6759×78437843-7843×67596759=0. 【练习】 1.速算下列各题.

（1）（1993×19941994-1994×19931993）÷1995 （2）1×22+2×33+3×44+……+98×9999 -2×11-3×22-4×33-……-99×9898 （3）2345×67896789-6789×23452345 2.研究下列各题.

（1）25×484848-48×252525

（2）25×48484848-48×25252525

3 三个等距自然数

如果今年是1994年，那么与今年相差1年的年份应该是1993年和1995年；与今年相差2年的年份是1992年和1996年；与今年相差3年的年份是1991年和1997年??.我们就称1993和1995是1994的一组等距数，1是它们的等距；1992和1996也是1994的一组等距数，2是它们的等距；1991和1997也是1994的一组等距数，3是它们的等距??. 关于等距数有许多十分有趣的规律.如，任何一个数的2倍等于它的一对等距数的和.像1994这个数就有：

1994×2=1993+1995； 1994×2=1992+1996； 1994×2=1991+1997；???? 现在我们有这样一个猜想：

与一个数等距的两个数的乘积会等于这个数自乘的积（即这个数的平方）吗？就拿上面的1994这个数来说，1994的平方会等于1993和1995的乘积吗？还会等于1992和1996的乘积或1991和1997的乘积吗？如果不相等，那么会相差多少呢？相差的数是不是有规律？ 请你先考察完下面的例子后再作结论.为了减少计算上的麻烦，我们在例子里都选用较小的数. 第2页

（1）等距是1.

2×2-1×3=（） 3×3-2×4=（） 4×4-3×5=（） 5×5-4×6=（） ???? （2）等距是2.

3×3-1×5=（） 4×4-2×6=（） 5×5-3×7=（） 6×6-4×8=（） ???? （3）等距是3.

4×4-1×7=（） 5×5-2×8=（） 6×6-3×9=（） 7×7-4×10=（） ???? （4）假设等距用a表示，那么一个数的一对等距数的乘积与这个数自乘的积相差多少呢？请你用含有a的式子表示出来.会吗？ 【规律】

一个数（用字母b表示）的一对等距数（可用b+a和b-a表示）的乘积与这个数自乘的积不相等.它们相差等距a的平方.用式子表示就是 b2-（b+a）×（b-a）=a2. 【练习】

请直接写出下列各题的得数.

（1）19942-1993×1995 （2）19942-1992×1996 （3）19942-1991×1997 （4）1+（22-1×3）+（32-2×4）+（42-3×5）+??+（19942-1993×1995） （5）（152-10×20）+（252-20×30）+（352-30×40）+??+（952-90×100）

4 分数性质的推论

分数的基本性质是：

如果分数的分子和分母都乘以或者都除以相同的数（零除外），那么分数的大小不变. 而有人还希望下面的说法也是正确的：分数的分子和分母都加上或者减去相同的数，分数的大小不变.

这实际上是错误的.但为了满足这些人的愿望，我们只要将上面的说法稍加修正就能得到一条正确的规律.怎样修正呢？

读者朋友，分数的分子和分母要同时加上或减去什么样的数，分数的大小才会不变呢？ 【规律】

分数的分子和分母同时各自加上或减去原来的相同倍数（减去时，这个倍数小于1），分数的大小不变.用字母表示出这条规律就是

很明显，这条规律可由分数的基本性质直接导出：因此，我们这条规律是分数基本性质

的推论. 第3页

5 探讨组数的规律

用几个不同的数字可以组成多少个不同的若干位数（在同一个数中不能重复使用同一个数字）.这是我们本节需要研究的问题. 让我们先来考察一个例子.

用1～9九个不同的数字，可以组成多少个各位数字不同的两位数？

因为1～9九个数字选作两位数的个位和十位都有可能，因此，我们按照一定的顺序来考察实际组数的情况.

假如，我们先在十位上选取1～9中的某个数字，比如1吧，那么，以1作十位数的两位数，它的个位数字就只有其余9-1=8（个）数字（2、3、4、5、6、7、8、9）可供选择，这样的两位数就有8个.而十位上的数字是有九个数字可供选择的，因此，总共就可以得到

9×8=72（个） 各位数字不同的两位数.这72个两位数就是：

值得我们思考的是，如果我们只用1～9这些数字中的某八个数字、七个数字、六个数字、……，那么，分别可以组成多少个各位数字不同的两位数？

按上面的做法，用八个不同数字组成两位数，先选十位上的数字有八种可能的方法，接着选个位上的数字还有七种可能的方法（也可以先选个位上的数字，再选十位上的数字），因此，共可以组成

8×7=56（个） 不同的两位数. 同理，用七个不同的数字就可以组成 7×6=42（个） 各位数字不同的两位数.

下面的情形不必由我写出，读者可能也推想到了.那么，我希望用下面的符号记录出上面的各种情形：用m个不同的数字，可以组成多少个各位数字不同的两位数？请读者写出答案.

再来考察一个例子.

用1～9九个数字，可以组成多少个各位数字不同的三位数？

九个数字选作三位数的各位数字都有可能.假如，百位上选数字1，十位选数字2，个位上就还有除1、2以外的其余9-2=7（个）数字可以选择，就可得7个三位数.图示如下页。 而百位上选择数字1，十位上可以选择1以外的其它9-1=8（个）数字，这样就可得 8×7=56（个）

各位数字不同的三位数；最后，由于百位上的数字可以在九个 数字中任意选择，因此，总共就可得 9×8×7=504（个）

各位数字不同的三位数. 第4页