第十二章 对策论
12.1 A、B两人各有1元、5角和1角的硬币各一枚。在双方互不知道的情况下各出一枚硬币，并规定当和为奇数时，A赢得B所出硬币；当和为偶数时，B赢得A所出硬币。试据此列出二人零和对策的模型，并说明该项游戏对双方是否公平合理。
12.2 A、B两人在互不知道的情况下，各自在纸上写﹛－1，0，1﹜三个数字中的任意一个。设A所写数字为s，B所写数字为t，答案公布后B付给A的钱为〔s（t－s）＋t（t＋s）〕元。试列出此问题对A的支付矩阵，并说明该游戏对双方是否公平合理。
12.3 已知A、B两人对策时对A的赢得矩阵如下，求双方各自的最优策略及对策值。
（1） 2 1 4 （2） ―3 －2 6
2 0 3 2 0 2 －1 －2 0 5 －2 －4
12.4 在下列矩阵（aij）3×3中确定p和q的取值范围，使得该矩阵在元素a22
处存在鞍点。
（1） 1 q 6 （2） 2 4 5 p 5 10 10 7 q 6 2 3 4 p 6 12.5 A和B进行一种游戏。A先在横坐标x轴的〔0，1〕区间内任选一个数，但不让B知道，然后B在纵坐标y的〔0，1〕区间内任选一个数。双方选定后，B对A的支付为p（x，y）＝0.5y2－2x2－2xy＋3.5x＋1.25y
求A、B各自的最优策略及对策值。
12.6 证明下列矩阵对策具有纯策略解（其中字母为任意实数） （1） a b （2） a e a e a e a e
c d b f b f f b f b a d c g g c c g g c c b
12.7 下列矩阵为A、B对策时A的赢得矩阵，先尽可能按优超原则简化，再用图解法求A，B各自的最优策略及对策值。
（1） －3 3 0 2 （2） 2 4 0 －2
－4 －1 2 －2 4 8 2 6 1 1 －2 0 －2 0 4 2 0 －1 3 －1 －4 －2 －2 0
12.8 用线性规划方法求解下列对策问题：
（1） 3 －1 －3 （2） ―1 2 1
－3 3 －1 1 －2 2 －4 －3 3 3 4 －3
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第十二章 对策论
12.9 每行与每列均包含有整数1，?，m的m×m矩阵称为拉丁方。例如一个4×4的拉丁方为： 1 3 2 4
2 4 3 1 3 1 4 2 4 2 1 3
试证明对策矩阵为拉丁方的m×m矩阵对策的值为
(m?1)。 212.10 A，B，C三人进行围棋擂台赛。三人中A最强，C最弱，又，一局棋赛中A胜C的概率为p，A胜B的概率为q，B胜C的概率为r。擂台赛规则为先任选两人对擂，其胜者再同第三人对擂，若连胜，该人即为优胜者；反之，任何一局对擂的胜者再同未参加该局比赛的第三人对擂，并往复进行下去，直至任何一人连胜两局对擂为止，该人即为优胜者。考虑到C最弱，故确定由C来定第一局由哪两人对擂。试问C应如何抉择，使自己成为优胜者的概率为最大。
12.11有A，B两家生产小型电子计算器工厂，其中A厂研制出一种新型袖珍计算器。为推出这种新产品加强与B厂竞争，考虑了三个竞争对策：①将新产品全面投入生产；②继续生产现有产品，新产品小批量试产试销；③维持原状，新产品只生产样品征求意见。B厂了解到A厂有新产品情况下也考虑了三个策略：①加速研制新计算器；②对现有计算器革新；③改进产品外观和包装。由于受市场预测能力限制，下表只表明双方对策结果的大致的定性分析资料(对A厂而言)：若用打分法，一般记0分，较好打1分，好打2分，很好为3分，较差打一1分，差为一2分，很差为一3分，试通过对策分析，确定A，B两厂各应采取哪一种策略。 1 A厂策略 2 3 B厂策略 1 较好 一般 很差 2 好 较差 差 3 很好 较好 一般
12.12有甲、乙两支游泳队举行包括三个项目的对抗赛。这两支游泳队各有一名健将级运动员(甲队为李，乙队为王)，在三个项目中成绩都很突出，但规则准许他们每人只能参加两项比赛，每队的其他两名运动员可参加全部三项比赛。已知各运动员平时成绩(秒)见下表。假定各运动员在比赛中都发挥正常水平，又比赛第一名得5分，第二名得3分，第三名得1分，问教练员应决定让自己队健将参加哪两项比赛，使本队得分最多?(各队参加比赛名单互相保密，定下来后不准变动)。
甲 队 乙 队 A1 A2 李 B1 B2 王 ３０７
第十二章 对策论
100米蝶泳 100米仰泳 100米蛙泳 59.7 67.2 74.1 63.2 68.4 75.5 57.1 63.2 70.3 61.4 64.7 73.4 64.8 66.5 76.9 58.6 61.5 72.6 12.13 A，B，C三人进行围棋擂台赛。已知三人中A最强，C最弱，又知一局棋赛中 A胜C的概率为p，A胜B的概率为q，B胜C的概率为r。擂台赛规则为先任选两人对擂，其胜者再同第三者对擂，若连胜，该人即为优胜者；反之，任何一局对擂的胜者再同未参加该局比赛的第三者对擂，并往复进行下去，直至任何一人连胜两局对擂为止，该人即为优胜者。考虑到C最弱，故确定由C来定第一局由哪两人对擂。试问C应如何抉择，使自己成为优胜者的概率为最大。
12.14 有分别为l，2，3点的三张牌。先给A任发一张牌，A看了后可以叫“小”或“大”，如叫“小”，赌注为2元，叫“大”时赌注为3元。接下来给B任发剩下来牌中的一张，B看后可有两种选择：①认输，付给A 1元；②打赌，如上叫“小”，谁的牌点子小谁赢，如叫“大”，谁的牌点子大谁赢，输赢钱数为下的赌注数。问在这种游戏中A、B各有多少个纯策略，根据优超原则说明哪些策略是拙劣的，在对策中不会使用，再求最优解。
12.15 有一种赌博游戏，游戏者I拿两张牌：红l和黑2，游戏者Ⅱ也拿两张牌：红2和黑3。游戏时两人各同时出示一张牌，如颜色相同，Ⅱ付给I钱，如果颜色不同，I付给Ⅱ钱。并且规定，如I打的是红l，按两人牌上点数差付钱。如I打的是黑2，按两人牌上点数和付钱。求游戏者I，Ⅱ的最优策略，并回答这种游戏对双方是否公平合理?
12.16 A，B两名游戏者双方各持一枚硬币，同时展示硬币的一面。如均为正面，A赢
211元，均为反面，A赢元，如为一正一反，A输元。写出A的赢得332矩阵，A，B双方各自的最优策略，并回答这种游戏是否公平合理?
12.17 甲、乙两人对策。甲手中有三张牌：二张K和一张A。甲任意藏起一张后，然后宣称自己手中的牌是KK或AK，对此乙可以接受或提出异议。如甲叫的正确而乙接受，甲得一元；如甲手中是KK叫AK时而乙接受，甲得二元；甲手中是AK叫KK时而乙接受，甲输二元。如乙对甲的宣称提出异议，输赢和上述恰恰相反而且钱数加倍。列出甲、乙各自的纯策略，求最优解和对策值，说明对策是否公平合理?
12.18 有一种游戏：任意掷一个钱币，先将出现是正面或反面的结果告诉甲。甲有两种选择：①认输，付给乙一元；②打赌，只要甲认输，这一局就终止重来。当甲打赌时，乙也有两种选择：①认输，付给甲一元；②叫真，在乙叫真时，如钱币掷的是正面，乙输给甲二元，如钱币是反面，甲输给乙二元。试建立甲方的赢得矩阵，求对策值及双方各自的最优策略。
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