第二章 函数 三 指数函数与对数函数
【考点阐述】指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数．
【考试要求】（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 【考题分类】
（一）选择题（共15题）
232352525a?（）,b?（），c?（）555，则a，b，c的大小关系是 1.（安徽卷文7）设
（A）a＞c＞b （B）a＞b＞c （C）c＞a＞b （D）b＞c＞a
【答案】A
2y?()xy?x在x?0时是增函数，5在x?0时是减函数，【解析】所以a?c，所以c?b。
25【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.
logbx2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx与y= 系中的图像可能是
||a (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标
【答案】D
bbbb【解析】对于A、B两图，|a|>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -a,由图知0<-a<1得-1
（A）10 （B）10 （C）20 （D）100 【答案】D
1
11??logm2?logm5?logm10?2,?m2?10,解析：选A.ab又Qm?0,?m?10.
4.（全国Ⅰ卷理8文10）设a=
log32,b=In2,c=5?12,则
A. a 11log3log23log2e,而log23?log2e?1,所以a 【解析】 a=2=, b=In2= 15?2?log24?log23,所以c c=5=5,而1?2【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 5.（全国Ⅰ卷理10）已知函数F(x)=|lgx|,若0 【答案】A 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小 ?a?题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+2b是命题者的用苦良心之处. 2?22a,从而错选A,这也 b?【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或 12a?a，所以a+2b=a f(a)?a?又0 2a,由“对勾”函数的性质知函数f(a)在a?(0,1) 2上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=3,即a+2b的取值范围是(3,+∞). 6.（全国Ⅰ卷文7）已知函数f(x)?|lgx|.若a?b且，f(a)?f(b)，则a?b的取值范围是 (A)(1,??) (B)[1,??) (C) (2,??) (D) [2,??) 【答案】C 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小 a?题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=题者的用苦良心之处. 1?2a,从而错选D,这也是命 2 7.（山东卷文3）函数A. f?x??log2?3x?1?的值域为 ?0,??? B. ??1,??? ?0,??? C. ?1,??? D. ?x【答案】A 【解析】因为3?1?1，所以 f?x??log2?3x?1??log21?0，故选A。 【命题意图】本题考查对数函数的单调性、函数值域的求法等基础知识。 8.（陕西卷文7）下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f（x＋y）＝f（x）f（y）”的是 [ ] （A）幂函数 （B）对数函数 （C）指数函数 （D）余弦函数 【答案】C 【解析】因为ax?y?axay所以f（x＋y）＝f（x）f（y）。 (11)x?x39.（上海卷理17）若x0是方程2的解，则x0属于区间 【答】（ ） 212111(A)(3,1) (B)(2,3) (C)(3,2) (D)(0,3) 1111???1??3???1??3,??1?2?1?311解析：结合图形?2??3??2?????2??，∴x0属于区间(3,2) 10.（上海卷文17）若 x0是方程式 lgx?x?2的解，则 x0属于区间 [答]（（A）（0，1）. （B）（1，1.25）. （C）（1.25，1.75） （D）（1.75，2） 构造函数f(x)?lgx?x?2,由f(1.75)?f(7)?lg71解析：44?4?0 11.（四川卷理3） 2log510?log50.25? （A）0 （B）1 （C） 2 （D）4 解析：2log510＋log50.25 ＝log5100＋log50.25 ＝log525 ＝2 答案：C 12.（四川卷文2）函数y=log2x的图象大致是 ） 3 (A) (B) (C) (D) 解析：本题考查对数函数的图象和基本性质. 答案：C 13.（天津卷文6）设 2a?log54，b?（log53），c?log45，则 (A)a 【答案】D 【解析】因为 a?log54?log55=1,b?(log53)2?(log55)2=1,c?log45?log44?1， 所以c最大，排除A、B；又因为a、b?(0,1)，所以a?b，故选D。 【命题意图】本题考查对数函数的单调性，属基础题。 14.（浙江卷文2）已知函数 (A)0 (B)1 f(x)?log1(x?1), 若f(?)?1, ?= (C)2 (D)3 解析：?+1=2，故?=1，选B，本题主要考察了对数函数概念及其运算性质，属容易题 xy?16?415.（重庆卷文4）函数的值域是 （A）[0,??） (B) [0,4] (C) [0,4) (D) (0,4) 【答案】C 【解析】 Q4x?0,?0?16?4x?16?16?4x??0,4?. （二）填空题（共4题） ??)的函数f(x)满足：（1）对任意x?(0，??)，1. （福建卷理15）已知定义域为(0，，2]时f(x)?2?x。给出结论如下： 恒有f(2x)?2f(x)成立；（2）当x?(1mf(2)?0； ②函数f(x)的值域为[0，??)； ③存在n?Z，使m?Z①对任意，有nf(2?1)?9； ④“函数f(x)在区间(a，b)上单调递减”的充要条件是“存在k?Z，得 kk?1(a，b)?(2，2)”。 使得 其中所有正确结论的序号是 。 【答案】①②④ mm?1m?1m?1mm?1f(2)?f(2?2)?2f(2)???2f(2)?0x?(2,2]，【解析】○1，正确；○2取 4 xxx?(1,2]f()?2?mm2m，从而 则2；2xxf(x)?2f()???2mf(m)?2m?1?x22，其中，m?0,1,2,?，从而f(x)?[0,??)， nm?1nnf(2?1)?2?2?1f(2?1)?9，即存在n正确；○3，假设存在使 x1,x2,s.t.2x1?2x2?10，又，2x变化如下：2,4,8,16,32，……，显然不存在，所以该命 题错误；○4根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是○1○2○4. 【命题意图】本题通过抽象函数，考查了函数的周期性，单调性，以及学生的综合分析能力，难度不大。 2.（上海卷理8）对任意不等于1的正数a，函数f(x)=点P，则点P的坐标是 解析：f(x)= loga(x?3)的反函数的图像都经过 loga(x?3)的图像过定点（-2,0），所以其反函数的图像过定点（0，-2） 的反函数的图像与y轴的交点坐标是 。 3.（上海卷文9）函数 f(x)?log3(x?3)解析：考查反函数相关概念、性质 法一：函数 f(x)?log3(x?3)xy?3?3，另x=0，有y=-2 的反函数为 法二：函数 f(x)?log3(x?3)图像与x轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数 f(x)?log3(x?3)的反函数的图像与y轴的交点为（0，-2） 4.（浙江卷文16）某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500 万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值 。 23860?500?2[500(1?x%)?500(1?x%)]?7000，化简得解析：20；依题意 (x%)2?3gx%?0.64，所以x?20。 【命题意图】本题主要考察了用一元二次不等式解决实际问题的能力，属中档题 5