信号的统计特性是缓慢的变化着的（非平稳信号），这就促使人们去研究一类特殊的滤波器，这类滤波器具有以下特点：当输入过程的统计特性未知时，或者输入过程的统计特性变化时，能够相应的调整自身的参数，以满足某种准则的要求，由于这类滤波器能变动自身的参数以“适应”输入过程统计特性的估计或变化，因此，就把这类滤波器称为自适应滤波器[4] 。在本文中我们研究的是退化图像复原的问题，由于图像自身的多样性和所混入的噪声的随机性和多样性，我们选择自适应滤波取出图像中混入的噪声。

3.1 横向滤波结构的最陡下降算法

3.1.1 最陡下降算法的原理

首先考虑如下图所示的横向FTR自适应滤波器

它的输入序列以向量的形式记为：

TX(k)??x(k)x(k?1)?x(k?M?1)?

( 3.1 )

假设X(k)取自一均值为零，自相关矩阵为R的广义平稳随机过程，而滤波器的系数矢量（加权矢量）为：

W(k)??w1(k)w2(k)?wM(k)?

T ( 3.2 )

以上二式中括号内的k为时间指数，因此，X(k)和W(k)分别表示时刻k的滤波器输入序列和加权值，滤波器的输出y(k)为：

My(k)??wi(n)x(n?i?1)

i?1 ( 3.3 )

式中M为滤波器的长度。

图3.1 中的d(k)称为“期望理想响应信号”，有时也可称为“训练信号”，它决定了设计最佳滤波器加权向量W(k)的取值方向。在实际应用中，通常用一路参考信号来作为期望响应信号。e(k)是滤波器输出y(k)相对于d(k)的误差，即

(3.4)

显然，自适应滤波控制机理是用误差序列e(k)按照某种准则和算法对其系数

?wi)n)?,i?1,2,?,M进行调节的，最终使自适应滤波的目标（代价）函数最小化，

达到最佳滤波状态。

按照均方误差（MSE）准则所定义得目标函数是

?(k)?E[e2(k)]?E[d(k)?2d(k)y(k)?y(k)]22 ( 3.5 )

将式（3.4）代入式（3.5），目标函数可以化为

?(k)?E[e2(k)]?E[d(k)]?2E[d(k)W(k)X(k)]?E[W(k)X(k)X(k)W(k)]当滤波系数固定时，目标函数又可以写为

2TTT ( 3.6 )

?(k)?[d2(k)]?2WT(k)P?WT(k)RW(k)]

( 3.7 )

其中，P?E[ykxk]是长度为N的期望信号与输入信号的互相关矢量，

R?E[xkxT]k是N×N的输入向量得自相关矩阵。

由式（3.7）可见，自适应滤波器的目标函数?(k)是延迟线抽头系数（加权或滤波系数）的二次函数。当矩阵R和矢量P已知时，可以由权矢量W(k)直接求其解。现在我们将式（3.7）对W求倒数，并令其等于零，同时假设R是非奇异的，由此可以得到目标函数最小的最佳滤波系数

wopt

为

( 3.8 )

wopt?R?1P

这个解就是维纳解，即最佳滤波系数值。因为均方误差函数是滤波系数W(k)的二次方程，由此形成一个形如图（2.2）的超抛物面，当滤波器工作在平稳随机过程的环境下，这个误差性能曲面就具有固定边缘的恒定形状。自适应滤波系数的起始值?wi(0),i?1,2,?,M?是位于性能曲面上的某一点，结果自适应调节过程，使对应于滤波系数变化的点移动，朝碗底最小点方向移动，最终到达碗底的最小点，实现了最佳维纳滤波。

最陡下降法就是实现上述搜索最佳值的一种优化技术，它利用梯度信息分析自适应滤波性能和追踪最佳滤波状态。梯度矢量是由均方误差?(?)的梯度来定义的，在多维超抛物面上任意一点的梯度矢量是对应于均方误差?(?)对滤波系数

wi(k)的一阶倒数，由起始点变化到下一点的滤波系数变化量正好是梯度矢量的负数。换句话说，自适应过程是在梯度矢量的负方向接连的校正滤波系数的，即在误差性能曲面的最陡下降方向移动和逐步校正滤波系数，最终到达均方误差为最小的碗底最小点，获得最佳滤波或准优工作状态。

令?(k)代表k时刻的M?1维梯度矢量，这里M等于滤波器滤波系数的数目，w(k)为自适应滤波器在k时刻的滤波系数和权矢量。按照最陡下降法调节滤波系数，则在k+1时刻的滤波系数或权矢量w(k?1)可以用下列简单递归关系来计算：

w(k?1)?w(k)?1?[??(k)] 2

( 3.9 )

式中，?为自适应收敛系数或步长，是一个正实常数。根据梯度矢量定义，

?(k)可写成

?E[e2(k)]?(k)??w(k)???(k)????w1(k)?E[2e(k)??(k)??(k)???

?w2(k)?wM(k)??e(k)]??E[2e(k)x(k)]?w(k)

( 3.10 )

当滤波系数为最佳值，即是维纳解时，梯度矢量?(k)应等于零。将式（3.7）

代入（3.10）得到

?(k)??2P?2Rw(k)

( 3.11 )

因此，在最陡下降算法中，当相关矩阵R和互相关矢量P已知时，由滤波系数矢量w(k)可以计算梯度矢量?(k)，把式（3.11）代入（3.9）中，可以计算出滤波系数的更新值

w(k?1)?w(k)??[P?Rw(k)],k?1,2,?,M

( 3.12 )

式（3.12）所描述的即是最陡下降算法自适应迭代的基本公式，且由该式我们可以不用再直接求R的逆。（3.12）式所示的迭代算法是一个反馈模型，因此算法的收敛性（稳定性）就非常重要。下面我们简单讨论一下最陡下降法的收敛性。

3.1.2 最陡下降算法稳定性

首先我们定义k时刻的加权误差矢量为

?w(k)?w(k)?wopt

( 3.13 )

则最陡下降算法式（3.12）可以写成另一种形式

?w(k?1)??w(k)??(P?Rw(k))

??w(k)??R?w(k)?(I??R)?w(k)

( 3.14 )

这样，我们得到最陡下降法的稳定性取决于两个因素：自适应步长参数?和输入信号矢量X(k)的自相关矩阵R。根据线性代数里的酉相似变换原理，用酉矩阵Q将相关矩阵R对角线化，即

R?QHDQ

( 3.15 )

式中D为对角线矩阵，它的元素是R的特征值，矩阵Q的列矢量是相关矩阵

R的特征值对应的特征向量的正交集，Q是Q的共轭转置。酉矩阵的性质是

HQHQ?QQH?I。把式（3.15）代入式（3.14），得到

?w(k?1)?(I??QHDQ)?w(k)

HQ两边乘以得到，

( 3.16 )