2019年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列列出的四个选项中，选出符合题目要求的?一项．

1．（5分）已知集合A＝{x|2x+x＞0}，B＝{x|2x+1＞0}，则A∩B＝（ ） A．

B．

C．{x|x＞0}

D．R

2

2．（5分）在复平?面内，若复数（2﹣i）z对应的点在第?象限，则z可以为（ ） A．2

B．﹣1

C．i

D．2+i

3．（5分）在平面直角坐标系XOY中，角α以OX为始边，终边经过点P（﹣1，m）（m≠0），则下列各式的值一定为负的是（ ） A．sinα+cosα

B．sinα﹣cosα

C．sinαcosα

D．

4．（5分）正方体被一个平面截去?一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图

形的形状为（ ）A．等腰三角形

B．直角三角形

C．平行四边形

D．梯形

5．（5分）若x，y满足，则|x﹣y|的最大值为（ ）

A．0 B．1

2

C．2 D．4

6．（5分）已知直线l过抛物线y＝8x的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点C．若点F是的AC中点，则线段BC的长为（ ） A．

B．3

C．

D．6

7．（5分）南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个

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几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平?面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S1，S2，则“V1，V2相等”是“S1，S2总相等”的（ ）

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

8．（5分）已知数列{an}满足：a1＝a，确的是（ ） A．?a＞0，?n≥2，使得B．?a＞0，?n≥2，使得an＜an+1 C．?a＞0，?m∈N*，总有am＜an D．?a＞0，?m∈N*，总有am+n＝an 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．（5分）在

的展开式中，x的系数是 ．（用数字作答）

2

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

，则下列关于{an}的判断正

10．（5分）在△ABC中，若bcosC+csinB＝0，则∠C＝ ． 11．（5分）若曲线

（θ为参数）关于直线

（t为参数）对

称，则a＝；此时原点O到曲线C上点的距离的最大值为 ． 12．（5分）已知向量＝为 ．

13．（5分）已知函数f（x）＝4x﹣x，若?x1，x2∈[a，b]，x1≠x2都有2f（x1+x2）＞f（2x1）+f（2x2）成立，则满足条件的一个区间是 ． 14．（5分）设A，B是R中两个子集，对于x∈R，定义：①若A?B．则对任意x∈R，m（1﹣n）＝ ； ②若对任意x∈R，m+n＝1，则A，B的关系为 ．

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3

，向量为单位向量，且?＝1，则2﹣与2夹角

三、解答题共6?小题，共80分．解答应写出?文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（13分）已知函数

（Ⅰ）求a的值及f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）若f（x）在区间[0，m]上单调递增，求m的最大值．

16．（13分）改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图为体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（%）．

，且

．

（Ⅰ）从2007年至2016年随机选择1年，求该年体育产业年增加值比前一年的体育产业年增加值多亿元以上的概率；

（Ⅱ）从2007年至2016年随机选择3年，设X是选出的三年中体育产业年增长率超过20%的年数，求X的分布列与数学期望；

（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）

17．（14分）如图，在棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点C在平面A1ABB1内的射影O为AB1与A1B的交点，E，F分别为BC，A1C1的中点． （Ⅰ）求证：四边形A1ABB1为正方形；

（Ⅱ）求直线EF与平面A1ACC1所成角的正弦值；

（Ⅲ）在线段AB1上存在一点D，使得直线EF与平面A1CD没有公共点，求

的值．

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18．（13分）设函数f（x）＝ax+（a﹣2）x﹣lnx的极小值点为x0． （Ⅰ）若x0＝1，求a的值f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若0＜x0＜1，在曲线y＝f（x）上是否存在点P，使得点P位于X轴的下方？若存在，求出一个点P坐标，若不存在，说明理由． 19．（13分）已知椭圆

为B，△BA1A2的面积为2． （Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；

（Ⅱ）在y轴右侧且平行于y轴的直线l与椭圆交于不同的两点P1，P2，直线A1P1与直线A2P2交于点P．以原点O为圆心，以A1B为半径的圆与x轴交于两点M，N（点M在点N的左侧），求|PM|﹣|PN|的值．

20．（14分）已知L∈N，数列A：a1，a2，…an中的项均为不大于L的正整数．ck表示a1，a2，…an中k的个数（k＝1，2，…，L）．定义变换T，T将数列A变成数列T（A）：t（a1），t（a2），…t（an）其中t（k）＝L?

．

+

2

与x轴交于两点A1，A2，与y轴的一个交点

（Ⅰ）若L＝4，对数列A：1，1，2，3，3，4，写出ci（1≤i≤4）的值； （Ⅱ）已知对任意的k（k＝1，2，…，n），存在A中的项am，使得am＝k．

求证：t（ai）＝ai（i＝1，2，…，n）的充分必要条件为ci＝cj（i，j＝1，2，…，L）； （Ⅲ）若l＝n，对于数列A：a1，a2，…an，令T（T（A）：b1，b2，…bn，求证：bi＝t（ai）（i＝1，2，…，n）．

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