计算等价变化：、新效用水平下，消费者需要保持效用水平不变需要 等价变化是指在原价格的额外收入。假定在原价格下，消费者保持效用水平不变需要的收入是m, 则有 111m2m1222()()?2550求解,m?70,则收入的等价变化?100?70?30 22也可以计算消费者剩余：首先求出普通需求函数12121122

maxu(x,x)?xx

st.x?x?10050?x? ??p? ?x?50?p? 然后计算当p从1变化至2时引起的消费者剩余的变化 CS?50dt?50lnt2?50?(ln2?ln1)?50?0.6931?34.655?t1 作业

1.假定消费者的效用函数为u（x1，x2）= x1x2，预算约束为p1x1+ p2x2≤m。这里，x1，x2是商品1和商品2的消费量，p1， p2是对应的价格，m是收入水平。试求需求函数 X1=D1（p1，p2，m）， X2=D2（p1，p2，m）。（北大1996研）

解：由拉格朗日乘数法得

u=x1x2-λ（p1x1+p2x2-m）

121122121由最大化的一阶必要条件：

?U?U?x1??p2?0 ?x2??p1?0

?X2?X1?U?p1x1?p2x2?m?0 ??可解得 x2=λP1………（1） x1=λP2…………（2）

(1)x2p1?? 即有p1x1=p2x2，代入P1X1+P2X2-m=0中 (2)x1p2得x1?D1(P1,P2,m)?*mm*,P,m)? x2?D2(P。 122P2P212.某消费者面临两种商品X、Y的选择，已知其效用函数为U=X2Y，商品X、Y的价格分别

为Px=4，Py=2，消费者用于消费的收入为60，现在商品X的价格降为2，Y的价格未变，请分别计算替代效应和收入效应对商品X的购买量的影响（用斯勒茨基分解和希克斯分解）。

2

（希克斯分解）解：由效用函数得MUx=2XY，MUy=X

2XYX2MUxMUy?价格未变动前，由消费者均衡点的条件有，即 ?42PxPy联立预算方程4X+2Y=60，得X=Y=10，U=1000

当X的价格变动后按上述同样的方法可得X′=20，Y′=10，ΔX=10 由于替代效应造成的ΔX1计算如下：

X12·Y1?1000

MUx1Py1?2X1Y1Px2 ???1（因为无差异曲线上均衡点的斜率等于新预算线的斜率）

X12Py22故有2Y1=X1，代入X1·Y1?1000中解得X1=1032≈13

所以ΔX1=13-10=3，即替代效应为3。 收入效应造成的ΔX2=20-13=7。

3.U(C1,C2)=C10.4C20.6,第一期m1=100,第二期m2=180,利率为r,求:

第一期的最优消费和储蓄.

求解第一期借钱,储蓄,或不借不储蓄时的利率条件.

4.假设一个消费者的效用函数是U(x1,x2)= x11/2x21/2,他最初的价格是（2,1），收入是100.问：当商品1 的价格下降至1时，求CV，EV? 解题过程与练习题相同，但结果相反

第八讲

练习：设某厂商品总产量函数为：TP=72L+15L2-L3 。求： （1）当L=7时，边际产量MP是多少？

（2）L的投入量为多大时，边际产量MP将开始递减？（同济大学1998研）

232

解：（1）因为TP=72L+15L-L，对TP求导便可得MP=72+30L-3L，所以当L=7时，MP=72+30

2

×7-3×7=135。 （2）边际产量MP达到最大值后开始递减，MP最大时，其一阶导数为零，所以（MP）＇=30-6L=0，L=5。 1. ，求利润最大化生产函数q?2l?4k产品价格为4，劳动价格为2，资本价格为3，的要素投入量和产量

提示：这是一个角点解，不能用普通方法解 2.生产函数为 f ( x 1, x ? x 1 ? x 2 ，产品价格为P,生产要素价格分别是w1,w2 2)（1）求要素需求函数；（2）求产出供给函数(上海财大,2008)

3.假定企业的生产函数为 f ( l , k ) ? 2 kl 如果资本存量固定在9个单位上（K=9），产品价格（P）为每单位6元，工资率（w）为每单位2元，请确定： （1）该企业的规模收益状态；

（2）企业应雇用的最优的（能使利润最大的）劳动数量；

（3）如果工资提高到每单位3元，最优的劳动数量是多少？（天津财经学院2000研） 解：（1）当K、L同比例增加λ倍时，有

F??K,?L??2(?K)(?L)?2?KL??F(K,L)所以该企业的规模报酬不变。

12121212

MRTSLK?（2）企业利润最大时，企业处于均衡状态，满足均衡条件

12?12?12MPLw?MPKr，所以

MRL?KL

MRK?KMPLKw??LMPKLr

12当 w?2,K?9时，成本TC=wL+rK=2L+9r，生产函数

1212r?2L9

121212Q?2KL?2?9?L?6L12

12??PQ?2L?9r?6(6L)?2L?9?L?36L2?4L9当P=6时，利润

???18L?4

为使利润最大化，应使???0，则

?12L?8181L?4，所以，企业雇用最优的劳动数量为4。

Kw9??r?Lr3 （3）如果工资提高到w=3时，有：L成本TC=3L+9r

13??PQ?3L?9r?6(6L)?3L?9?L?36L2?6L9利润

12???18L?6，要得到最优的劳动数量，须使利润最大化，即???0时，由18L?6?0得，L=9。

第九讲

(x练习1.生产函数为 f 1 , x 2 ) ? x 1 ? x 2 产品价格为P,生产要素价格分别是w1,w2

? 求条件要素需求函数(上海财大,2008)

s.t.y?x1?x2minw1x1?w2x2

L(x1,x2,?)?w1x1?w2x2??(x1?x2?y)

???1/2y?x1?x2w1?x1?1/2?0w2?x2?0一阶导条件：

22

wywyx1(w1,w2,y)?(2)2x2(w1,w2,y)?(1)2

w1?w2w1?w2

2.设某厂商的生产函数为Q=L1/2K1/2 ，且L的价格W=1，K的价格r=3。 （1）试求长期总成本函数（LTC）、长期平均成本函数（LAC）和长期边际成本函数（LMC）； （2）设在短期内K=10，求短期总成本函数（STC），短期平均成本函数（SAC）和短期边际

?12?12

成本函数（SMC）。（北大1999研）

minC?L?3K??长期: ???使得Q?LK

11 F(L,K,?)?L?3K??(Q?L2K2) ??E1K123?1???0K11L?Q,解得L?3Q,K?Q? ??L?,K?L332LL333 ?1L??FLTC?L?3K?3Q?3?Q?23Q?3???0?32K ??K LAC?23??F

??Q?LK?0LMC?23??? ?

1/32/3作业1根据柯布-道格拉斯生产函数, y ? f ( x 1 , x 2 ) ? x 1 x 2 .推导有条件的要素需求函数

? 推导MC与AC之间的关系 ?min 推导与xAPL之间的关系 w1Ax1VC?w1/32/322y?f(x1,x2)?x1x2.x1,x2?0

*?2/3*2/3w?y/?x1(1/3)(x1)(x2) ?1????*1/3*?1/3w2?y/?x2(2/3)(x1)(x2)

x*??2*. 2x12/32/3 *2w1*????2w2wx2?x1.y?(x*)1/3?1x*???1?x*. 1w2?w1??w?1?2??2?2/3

2/31/3?w2?*????2ww2w x1??*21?2w??y??x2?1?y??y????1?? w2?2w1??w2?第十讲 3已知短期成本函数cs(y)?0.1y?2y2?15y?10,练习1

求它的供给函数(人大研,2002)。

解：代入利润最大化一阶条件p?MCs(y)

得到:p?0.3y2?4y?15

4?1.2p?2

解之，y?0.6

当y?0时,应满足p?AVCs?0.1y2?2y?15

即:0.3y2?4y?15?0.1y2?2y?15,y?10

?p?AVCs?0.1y2?2y?15?5

或者,y?0

所以，供给函数为

2/31/3?4?1.2p?2 ????2w1?,如果p?5*2w1w2y?????x?y?y?0.62 ????w2?2w1??0，如果p?5?w2??

cs(y)?y3?8y2?30y?5,c(y)?y2?1, 例2、已知短期成本函数3. 例子:已知长期成本函数求它的长期供给函数。 求它的供给函数。解：代入利润最大化一阶条件：p?MC(y)解：代入利润最大化一阶条件：p?MC(y)s p可以得到:p?2y,即y?22 得到:p?3y?16y?30y2?12当y?0时,应满足p?AC?当y?0时,应满足p?AVCs?y?8y?30 y22即:3y?16y?30?y?8y?30,y?4y2?12 即:2y?,y?1,y?1y 或者,y?01212所以，当y?4时，反供给函数为p?3y?16y?30，在其它条件下，y?02由于,p?2y,可以得到p?2其它条件下,即p?2时,y?0所以，该厂商的长期供给函数为?p?,当p?2y??2??0,当p?2