习 题 一
1.写出下列随机试验的样本空间：
（1）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数. （2）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.
（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果. [解]（1）S??10,11,??; （2）S??(x,y)x2?y2?1?，
,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111?.其中0表示 （3）S??00,100,0100,0101次品，1表示正品.
2.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. （1） 掷一颗骰子，出现奇数点. （2） 掷二颗骰子，
A=“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.” B=“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次， A=“第一次出现正面.”
B=“至少有一次出现正面.” C=“两次出现同一面.” [解] (1)???12,,3,4,5,6?,A??13,,?;
(2)
???(i,j)|i,j?1,2,?,6?,
A??(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(4,1),(6,1)?,B??(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)?; (3) ??{(正,反),(正，正),(反,正),(反，反)}，
A?{ (正，正), (正,反)},
B?{ (正，正), (正,反),(反,正)} C?{ (正，正), (反,反)}.
3.设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件： （1）A发生，B与C不发生. （2）A与B都发生，而C不发生. （3）A,B,C中至少有一个发生. （4）A,B,C都发生.
（5）A,B,C都不发生.
（6）A,B,C中不多于一个发生. （7）A,B,C中不多于两个发生. （8）A,B,C中至少有两个发生.
[解]（1） ABC （2） ABC （3）A∪B∪C （4）ABC
(5) ABC (6) AB?AC?BC
(7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) ABC∪ABC∪ABC∪ABC= AB∪BC∪CA.
4.在某系的学生中任选一名学生.令事件A表示“被选出者是男生”；事件B表示“被选出者是三年级学生”；事件C表示“被选出者是运动员”.
（1）说出事件ABC的含义；
（2）什么时候有恒等式A?B?C?C； （3）什么时候关系式C?B正确； （4）什么时候等式A?B成立.
[解](1)该生是三年级男生但不是运动员;(2)当某系的运动员全是三年级男生时;(3)当某系除三年级外其它年级的学生都不是运动员时;(4)当某系三年级的学生都是女生,而其它年级都没有女生时.
5.盒中有10只晶体管. 令Ai表示“10只晶体管中恰有i只次品”， B表示“10只晶体管中不多于3只次品”， C表示“10只晶体管中次品不少于4只”.问事件Ai(i?0,1,2,3)，
B，C之间哪些有包含关系？哪些互不相容？哪些互逆？
B与C互不相容；B与C互 [解] Ai?B,i?0,1,2,3；A0,A1,A2,A3,C两两互不相容，
逆。
6. A,B是任意两个事件，化简下列式子
（1）?A?B?A?B???A?B??A?B?； （2）AB?AB?AB?AB?AB.
[解] （1）?； （2）AB.
7.若P(A)?0.5，P(AB)?0.2，P(B)?0.4，试求
（1）P(AB)；（2）P(A?B)；（3）P(A?B)；（4）P(AB). [解]（1）因为P(AB)?P(B?A)?P(B)?P(AB)，故
P(AB)?P(B)?P(AB)?0.4?0.2?0.2；
（2）P(A?B)?P(A)?P(AB)?1?P(A)?P(AB)?0.3； （3）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.7；
（4）P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?0.3.
8.观察某地区未来5天的天气情况，记Ai为事件“有i天不下雨”，已知
P(Ai)?iP(A0),i?1,2,3,4,5，求下列事件的概率.
(1) 5天均不下雨； （2）至少有一天不下雨； （3）至多三天不下雨.
[解]易知A0,A1,???,A5两两互不相容且A0?A1?????A5?S，所以
1?P?S??P?A0?A1?????A5??P?A0??P?A1????P?A5?
?P?A0??P?A0??2P?A0????5P?A0??16P?A0?
于是得P?A0??1/16，P(Ai)?i/16,i?1,2,3,4,5.
记（1），（2），（3）所表示的事件分别为A,B,C，则 （1）P?A??P?A0??1/16； （2）P?B??1?P?A0??15/16
（3）P?C??1?P?A4??P?A5??1?4/16?5/16?7/16. 9. 设A,B是两事件，且P(A)?0.6，P(B)?0.7，问
（1）在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？
[解]（1）A?B时，P(AB)取到最大值0.6 （2）P(A?B)?1时，P(AB)取到最小值0.3。
10.某城市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%住户至少订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比. 答案: 0.3
11.从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率
5332是多少？答案: p=C13C13C13C13/C1352
12.将3个球随机地放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率. [解]设A,B,C分别表示杯子中球的最大个数分别为1,2,3的事件，则
P(A)?4?3?234?1?11?P(C)??； ；4384316319P(B)?1?P(A)?P(C)?1???.
8161613.在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面4个数全不相同的概率（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2，?，9）.
[解]这是重复排列问题.个数有10种选择,4个数共有104种选择.4个数全不相同,是排列问题.
444用10个数去排4个位置,有A10种排法,故所求概率为P?A10/10.
14.对一个五人学习小组考虑生日问题，求下列事件的概率：
（1）五个人的生日都在星期日； （2）五个人的生日都不在星期日；
（3）五个人的生日不都在星期日.
[解]（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故
1?1?P(A1)?5???
7?7?（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故
565?6?P(A2)?5???
7?7??1?(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}, P(A3)?1?P(A1)?1???.
?7?15.某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客.问一个定货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？
9[解]与次序无关,是组合问题.从17桶油漆中取9桶,有C17种取法. 由乘法原理,取4桶白漆、
432C10C4C3252. P??9C172431553桶黑漆和2桶红漆的取法为CCC4103423种,所以所求概率为
16.在1500个产品中有400个次品、1100个正品.任取200个.
（1）求恰有10个次品的概率； （2）求至少有2个次品的概率.
10190001199C400C1100C12100?C400C1100[解]（1）；（2）1?. 200200CC1500150017. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆
钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.问发生一个部件强度太弱的概率是多少？
[解]将部件从1到10编号，Ai表示“i号部件强度太弱”，故
P(Ai)?11?,i?1,2,?,10. 3C5019600因A1,A2,?,A10两两互不相容，因此10个部件中有一个部件强度太弱的概率是
P?P?A1?A2???A10??P?A1??P?A2????P?A10??101?.
19600196018. 从1至9这九个数中有放回地取3次,每次任取1个,求所取的三个数之积能被10整除的概率．
[解] 设“所取的3个数中含有数字5”为事件A1,