∴．

????0?单调递增，h?0??1?0，（h?）?0． ∴ h?x?在??，2?2?∴ h?x?在?????，0?上有一个零点， ?2????xx?② 当?0,?时，cosx?sinx，e?x， ?4?∴

∴ h?x?在

???，∴h?x??0在?0，?恒成立，

?4????

?0，?无零点． ?4?

????③ 当x??,??42?时，，

．

???

∴ h?x?在?0，?

?4?

???

∴ h?x?在?0，?存在一个零点．

?4?

单调递减，，．

综上，h?x?的零点个数为2．．

1．（2019·天津高考真题（理））已知a?R，设函数

若关于x的不

0在R上恒成立，则a的取值范围为（ ） 等式f(x)…A．?0,1? 【答案】C 【解析】

∵f(0)?0，即a?0， （1）当0?a?1时，当a?1时，f(1)?1?0， 故当a?0时，

在(??,1]上恒成立；

B．?0,2? C．?0,e? D．?1,e?

，

若

在(1,??)上恒成立，即a?x在(1,??)上恒成立， lnx令g(x)?x，则lnx，

当x?e,函数单增，当0?x?e,函数单减， 故

，所以a?e.当a?0时，

在(??,1]上恒成立；

综上可知，a的取值范围是[0,e]， 故选C.

2．（2018·浙江高考真题）已知则（ ） A．【答案】B 【解析】 令

，因此

若公比若公比但即因此

，

，选B.

，则，则

，

，不合题意；

则

，令

得，

，不合题意；

，所以当

时，

，当

时，

B．

C．

D．

成等比数列，且

．若

，

3.（2019浙江）已知a,b?R，函数

．若函数

恰有3个零点，则( ) A．a<–1，b<0 C．a>–1，b<0 【答案】C

B．a<–1，b>0 D．a>–1，b>0

【解析】当x＜0时，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点； 当x≥0时，y＝f（x）﹣ax﹣b

，

当a+1≤0，即a≤﹣1时，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上单调递增， 则y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一个零点，不合题意；

当a+1＞0，即a>﹣1时，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此时函数单调递增， 令y′＜0得x∈[0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.

x3

（a+1）x2+ax﹣ax﹣b

x3

，

（a+1）x2﹣b，

根据题意，函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点?函数y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：

∴0且

（a+1）3，

，

解得b＜0，1﹣a＞0，b则a>–1，b<0. 故选C．

4．（2019·北京高考真题（文））已知函数（Ⅰ）求曲线y?f(x)的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当x?[?2,4]时，求证：（Ⅲ）设

小时，求a的值．

.

；

，记F(x)在区间[?2,4]上的最大值为M（a），当M（a）最

【答案】（Ⅰ）x?（Ⅱ）见解析； （Ⅲ）a??3. 【解析】 （Ⅰ）

y?0和

.

，令

得x?0或者x?8. 3当x?0时，f(0)?0，此时切线方程为y?x，即x?当x?y?0；

；

. ，令

得x?0或者

88864时，f()?，此时切线方程为y?x?，即332727综上可得所求切线方程为x?（Ⅱ）设

y?0和

，

88x?，所以当x?[?2,0]时，g?(x)?0，g(x)为增函数；当x?(0,)时，g?(x)?0，g(x)为减

338函数；当x?[,4]时，g?(x)?0，g(x)为增函数；

3而同理令

，综上可得

（Ⅲ）由（Ⅱ）知

，

，所以g(x)?0，即f(x)?x；

，可求其最小值为h(?2)?0，所以h(x)?0，即.

所以M(a)是a,a?6中的较大者， 若a?a?6，即a≤?3时，若a?a?6，即a??3时，

所以当M(a)最小时，M(a)?3，此时3?. 5.（2019·全国高考真题（理））已知函数

（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线y?e的切线. 【答案】（1）函数f(x)在(0,1)和(1,??)上是单调增函数，证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】

x；

；

.