（2）求|AB|?|AF|的最小值. 【答案】(1)见证明；(2)108 【解析】

（1）有题意可知，F(4,0) 可设直线l的方程为x?my?4，

?y2?16x联立直线和抛物线方程?，消x可得

?x?my?4所以

，y1y2??64，

，

，

，

由抛物线的定义可知，又

所以

所以|AC|?|BD|为定值16. （2）由（1）可知，

，

，

由x1x2?16，可得x2?，

，

16， x1（其中x1>0），

所以

令，，

当x?(0,2)时，f?(x)?0，函数单调递减，当x?(2,??)时，f?(x)?0，函数单调递增， 所以

.

所以|AB|?|AF|的最小值为108.

1. （2019·广东高考模拟（文））已知函数（1）讨论函数f(x)的单调性；

.

（2）当a??1时，讨论函数f(x)的零点个数. 【答案】(1)见解析；(2)见解析 【解析】 （1）

，

令

，其对称轴为x0??3a，令4，则??9a2?8.

当a?0时，f?(x)?0，所以f(x)在(0,??)上单调递增； 当a?0时，对称轴为

，

若

单调递增； 若a??，即

，u(x)?0恒成立，所以f?(x)?0，所以f(x)在(0,??)上

22时，设u(x)?0的两根3，，

当x?(0,x1)时，u(x)?0，所以f?(x)?0，所以f(x)在(0,x1)上单调递增， 当x?(x1,x2)时，u(x)?0，所以f?(x)?0，所以f(x)在(x1,x2)上单调递减， 当

时，u(x)?0，所以f?(x)?0，所以f(x)在(x2,??)上单调递增，

综上所述：当a??22时， f(x)在(0,??)上单调递增； 3若a??22时， f(x)在(0,x1)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减，在(x2,??)上单调递增； 3（2）当a??1时，由（1）知f(x)在(0,x1)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减，在(x2,??)上单调递增，下面研究f(x)的极大值又

，所以

，

，

令，则

（x?0），可得g(x)在(0,22,??))上单调递增，在(22上单调递减，且g(x)的极大值，所以g(x)?0，所以

f(x1)?0，

当x?(0,x1)时， f(x)单调递增，所以

当x?(x1,x2)时， f(x)在(x1,x2)上单调递减，所以当且

，所以存在

又当

时， f(x)单调递增，

，

，使得f(x?)?0，

时， f(x)单调递增，所以f(x)只有一个零点x?，

综上所述，当a??1时，f(x)在(0,??)上只有一个零点. 2．（2019·山西高考模拟（文））已知函数

.

（Ⅰ）若m?1，求曲线y?f(x)在(0,f(0))处的切线方程； （Ⅱ）若关于x的不等式

【答案】（Ⅰ）x?y?1?0；（Ⅱ）【解析】 （Ⅰ）依题意，

，故

.f'(0)?1，而f(0)?1.

在[0,??)上恒成立，求实数m的取值范围.

故所求切线方程为y?1?x，即x?y?1?0. （Ⅱ）由

得

.

即问题转化为当x?0时，

.

令

，x?0，则

.

由g'(x)?0及x?0，得x?当当所以当x?3?1.

时，g'(x)?0，g(x)单调递增； 时，g'(x)?0，g(x)单调递减.

3?1时，

. .

.

所以m?2e1?3.即实数m的取值范围为

3．（2019·湖北黄冈中学高考模拟（理））已知函数

（Ⅰ）讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）比较

【答案】（I）见解析；（II）见解析 【解析】

（Ⅰ）函数f(x)可化为

，

与

的大小?n?N?且n?2?，并证明你的结论.

当0?x?a时，当x?a时，

，从而f(x)在(0,a)上总是递减的， ，此时要考虑a与1的大小.

若a?1，则f?(x)?0，故f(x)在[a,??)上递增，

若0?a?1，则当a?x?1时，f?(x)?0，当x?1时，f?(x)?0，故f(x)在[a,1)上递减， 在(1,??)上递增，而f(x)在x?a处连续，所以 当a?1时，f(x)在(0,a)上递减，在[a,??)上递增； 当0?a?1时，f(x)在(0,1)上递减，在[1,??)上递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知当a?1，x?1时，

，即lnx?1?x，所以

lnx1?1?.所以 xx

.

4．（2019·天津耀华中学高三月考）已知函数（Ⅰ）（ⅰ）求证：g?x??x?1； （ⅱ）设

，当

.

时，求实数a的取值范围；

（Ⅱ）当a?0时，过原点分别作曲线y?f?x?与y?g?x?的切线l1,l2，已知两切线的斜率互为倒

数，证明：.

【答案】（Ⅰ）（ⅰ）详见解析；（ⅱ）???,2；（Ⅱ）详见解析.

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