故答案是：

【点评】本题运用了弧长公式和圆的周长公式，建立准确的等量关系是解题的关键．

三.解答题

1 （2019?湖南岳阳?10分）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E.F分别在边AD.BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为直线EF上一动点（不与E.F重合），过点P分别作直线BE.BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN． （1）如图1，求证：BE＝BF；

（2）特例感知：如图2，若DE＝5，CF＝2，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形PMQN的周长；

（3）类比探究：若DE＝a，CF＝b．

①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含A.b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；

②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含A.b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）

【分析】（1）证明∠BEF＝∠BFE即可解决问题（也可以利用全等三角形的性质解决问题即可）．

（2）如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形．利用面积法证明PM+PN＝EH，利用勾股定理求出AB即可解决问题．

（3）①如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．由S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，可得BE?PM

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﹣?BF?PN＝?BF?EH，由BE＝BF，推出PM﹣PN＝EH＝问题．

，由此即可解决

②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝

．

【解答】（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB，

由翻折可知：∠DEF＝∠BEF， ∴∠BEF＝∠EFB， ∴BE＝BF．

（2）解：如图2中，连接BP，作EH⊥BC于H，则四边形ABHE是矩形，EH＝AB．

∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2， ∴AD＝BC＝7，AE＝2，

在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2， ∴AB＝

＝

，

∵S△BEF＝S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴?BF?EH＝?BE?PM+?BF?PN， ∵BE＝BF，

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∴PM+PN＝EH＝，

∵四边形PMQN是平行四边形，

∴四边形PMQN的周长＝2（PM+PN）＝2

（3）①证明：如图3中，连接BP，作EH⊥BC于H．

．

∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b， ∴AD＝BC＝a+b， ∴AE＝AD﹣DE＝b， ∴EH＝AB＝

，

∵S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，

∴BE?PM﹣?BF?PN＝?BF?EH， ∵BE＝BF， ∴PM﹣PN＝EH＝

，

∵四边形PMQN是平行四边形， ∴QN﹣QM＝（PM﹣PN）＝

．

②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，同法可证：QM﹣QN＝PN﹣PM＝

．

【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质和判定，翻折变换，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，学会利用面积法证明线段之间的关系，属于中考压轴题．

2 （2019?湖南衡阳?12分）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作

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PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE． （1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；

（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； （3）求DE的长；

（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．

【分析】（1）当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，由此构建方程即可解决问题． （2）如图1中，连接BF交AC于M．证明EF＝2EM，由此构建方程即可解决问题． （3）证明DE＝AC即可解决问题．

（4）如图3中，连接AM，AB′．根据AB′≥AM﹣MB′求解即可解决问题． 【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°，

∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°， ∴6+t＝2（6﹣t）， ∴t＝3，

∴t＝3时，△BPQ是直角三角形．

（2）存在．

理由：如图1中，连接BF交AC于M．

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