导数在研究函数中的应用 单元测试

一、选择题

1．下列函数在(?∞，?∞)内为单调函数的是（ ） Ａ．y?x2?x Ｃ．y?e?x

Ｂ．y?x Ｄ．y?sinx

答案：Ｃ

2．函数y?xlnx在区间(0，1)上是（ ）

Ａ．单调增函数 Ｂ．单调减函数

?1??1?Ｃ．在?0，?上是单调减函数，在?，1?上是单调增函数

ee?????1??1?Ｄ．在?0，?上是单调增函数，在?，1?上是单调减函数

?e??e?

答案：Ｃ

3．函数f(x)?(x?2)2(x?1)3的极大值点是（ ）

4Ａ．x??

5

答案：Ｄ

Ｂ．x?1 Ｃ．x??1 Ｄ．x??2

4．已知函数f(x)?x3?px2?qx的图象与x轴相切于(1，0)极大值为Ａ．极大值为

4，极小值为（ ） 274，极小值为0 274 275 27Ｂ．极大值为0，极小值为?Ｃ．极大值为0，极小值为?Ｄ．极大值为

答案：Ａ

5，极小值为0 27?π?5．函数y?x?2cosx在?0，?上取最大值时，x的值为（ ）

?2?

1

Ａ．0 Ｂ．

π 6Ｃ．

π 3Ｄ．

π 2

答案：Ｂ

6．设函数f(x)在定义域内可导，y?f(x)的图象如图1所示，则导函数y?f?(x)的图象可能为（ ）

答案：Ｂ

二、填空题

7．函数y?2x2?lnx(x?0)的单调增区间为 ．

?1??∞? 答案：?，?2?

8．函数f(x)?alnx?bx2?3x的极值点为x1?1，x2?2，则a? ，b? ．

答案：?2，?

9．函数f(x)?x4?2x2?5在[?2，2]上单调递增，则实数a的取值范围是 ．

答案：4

1 210．函数f(x)?ax3?x2?x?5在(?∞， ?∞)上单调递增，则实数a的取值范围是 ．

?1??∞? 答案：?，?3?

2

11．函数f(x)?x5?5x4?5x3?1在[?1，2]上的值域为 ．

答案：[?10，2]

12．在一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图2所示．当x为 时，正三棱柱的体积最大，最大值是 ．

aa3答案：，

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三、解答题

13．已知x?0，证明不等式x?ln(1?x)．

证明：原不等式等价于证明x?ln(1?x)?0． 设f(x)?x?ln(1?x)，则f?(x)?1?1x． ?1?xx?13

∵x?0，∴f?(x)?0． ∴f(x)在x?(0，?∞)上是单调增函数． 又f(0)?0?ln1?0，

∴f(x)?f(0)?0即x?ln(1?x)?0，亦即x?ln(1?x)．

14．已知函数f(x)?x3?3ax2?2bx在x?1处有极小值?1，试求a，b的值，并求出f(x)的单调区间．

解：由已知，可得f(1)?1?3a?2b??1， 又f?(x)?3x2?6ax?2b， ① ∴f?(1)?3?6a?2b?0， ②

11由①，②，解得a?，b??．

32故函数的解析式为f(x)?x3?x2?x．

1由此得f?(x)?3x2?2x?1，根据二次函数的性质，当x??或x?1时，f?(x)?0；

31当??x?1，f?(x)?0．

31???1?因此函数的单调增区间为??∞，??和(11?． ，?∞)，函数的单调减区间为??，33????

12，问：（1）要使平均x（元）

40成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？

15．已知某工厂生产x件产品的成本为C?25000?200x?25000?200x?解：（1）设平均成本为y元，则y?x12x40?25000?200?x，

x40?250001?，令y??0得x?1000． 2x40当在x?1000附近左侧时y??0；

在x?1000附近右侧时y??0，故当x?1000时，y取极小值，而函数只有一个点使y??0，y??故函数在该点处取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1000件产品． ?x2?x2x（2）利润函数为S?500x??25000?200x???300x?25000?，S??300?，

40?4020?令S??0，得x?6000，当在x?6000附近左侧时S??0；在x?6000附近右侧时S??0，故

当x?6000时，S取极大值，而函数只有一个点使S??0，故函数在该点处取得最大值，因

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