第二十二章 曲面积分

§3 高斯公式与斯托克斯公式

一 高斯公式

格林公式建立了沿封闭曲线的曲线积分与二重积分的关系，沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分之间也有类似的关系，这就是本段所要讨论的高斯（Gauss）公式。 定理22.3 设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成。若函数P， Q，R在V上连续，且有一阶连续偏导数，则

??P?Q?R???????x??y??z??dxdydz?V?， （1）

???Pdydz?Qdzdx?RdxdyS其中S取外侧。（1）式称为高斯公式。 证 下面只证

?Rdxdydz???Rdxdy. ????zVS读者可类似地证明

?Pdxdydz???Pdydz,????xVS?Qdxdydz???Qdzdx.????yVS

这些结果相加便得到了高斯公式（1）。

先设V是一个xy型区域，即其边界曲面S由曲面 ①若S为封闭曲面，则曲面积分的积分号用

??表示。

S2:z?z2?x,y?,?x,y??Dxy,S1:z?z1?x,y?,?x,y??Dxy

及以垂直于Dxy的边界的柱面S3组成（图22－6），其中z1?x,y??z2?x,y?。于是按三重积分的计算方法有

????Rdxdydz?V?z??dxdyD?z2?x,y??Rzdz1?x,y?xy?z??x,y,z2?x,y???R?x,y,z1?x,y???dxdyD???Rxy??x,y,z2?x,y??dxdy?D??R??R?x,y,z1?x,y??dxdy

xyDxy???R?x,y,z?dxdy?S??R?x,y,z?dxdy2S1???R?x,y,z?dxdy???R?x,y,z?dxdy,S2?S1其中S1,S2都取上侧。又由于S3在xy平面上投影区域的面积为零，所以

??R?x,y,z?dxdy?0.

S3因此

????Rdxdydz?V?z??Rdxdy???Rdxdy???RdxdyS2?S1S3

???Rdxdy.S 对于不是xy型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy型区域来讨论。详细的推导与格林公式相似，这里不再细说了。 ▌ 高斯公式可用来简化某些曲面积分的计算。 例1 计算

??y?x?z?dydz?x2dzdx??y2?xz?dxdy, S其中S是边长为a的正立方体表面并取外侧（即上节习题1（1））。

解 应用高斯公式，所求曲面积分等于

???????y?x?z????x2???y2?xz??dxdydz V??x?y???z???????y?x?dxdydz??adz?aa0dy??y?x?dx

V00 ?a?a???ay?1a2???dy?a402.若高斯公式中P＝x,Q=y,R=z,则有

????1?1?1?dxdydz???xdydz?ydzdx?zdxdy.

VS于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域V的体积公式

?V?13??xdydz?ydzdx?zdxdy. S▌

二 斯托克斯公式

斯托克斯（Stokes）公式是建立沿空间双侧曲面S的积分与沿S的边界曲线L的积分之间的联系。

在讲下述定理之前，先对双侧曲面S的侧与其边界曲线L的方向作如下规定：设有人站在S上指定的一侧，若沿L行走，指定的侧总在人的左方，则人前进的方向为边界线L的正向；若沿L行走，指定的侧总在人的右方，则人前进的方向为边界线L的负向，这个规定方法也称为右手法则，如图22－7所示。

定理22.4 设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线。若函数P、Q、R在S（连同L）上连续，且有一阶连续偏导数，则

??R?Q???Q?P???P?R?????dydz??dzdx???????y?z???x??y??dxdy?z?x????? （2） S???Pdx?Qdy?Rdz,L其中S的侧与L的方向按右手法则确定。

证 先证

?P?Pdzdx?dxdy??Pdx, （3） ??L?z?yS其中曲面S由方程z?z?x,y?确定，它的正侧法线方向数为?zx,?zy,1，方向余弦为

???cos?,cos?,cos??，所以

?zcos??zcos???,??. ?xcos??ycos? 若S在xy平面上投影区域为Dxy，L在xy平面上的投影曲线记为?。现由第二型曲线积分定义及格林公式有

?P?x,y,z?dx??P?x,y,z?x,y??dxL?????因为

?P?x,y,z?x,y??dxdy.?yDxy

??P?P?zP?x,y,z?x,y????, ?y?y?z?y所以

????P?x,y,z?x,y??dxdy?yDxy??P?P?z????????y??z?y??dxdy.?S?由于

?zcos?。从而 ???tcos???P?P?z???P?Pcos?????????dxdy??????y?z?y???y??zcos???dxdy??S?S???P?dxdy?P??????cos??cos???y?cos??z?S???P??P??????cos??cos?dS??y??z?S??P?P???dzdx?dxdy.?z?yS综合上述结果，便得所要证明的（3）式。

同样对于曲面S表示为x?x?y,z?和y?y?z,x?时，可证得

?Q?Qdxdy?dydz??Qdy （4） ??L?x?zS和

?R?Rdydz?dzdx??Rdz. （5） ??L?y?xS将（3）、（4）、（5）三式相加即得（2）式。

如果曲面S不能以z?z?x,y?的形式给出，则可用一些光滑曲线把S分割为若干小块，使每一小块能用这种形式来表示。因而这时（2）式也能成立。 ▌

公式（2）称为斯托克斯公式。

为了便于记忆，斯托克斯公式也常写成如下形式：

??Sdydzdzdxdxdy?????Pdx?Qdy?Rdz. L?x?y?zPQR 例2 计算

??2y?z?dx??x?y?dy??y?x?dz,

L其中L为平面x+y+z=1与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向（图22－8）。

解 应用斯托克斯公式推得